Weighted restricted weak-type extrapolation on classical Lorentz spaces

Abstract

An important result in Harmonic Analysis is the extrapolation theorem of Rubio de Francia. In its original version says that if T is a sublinear operator that is bounded in Lp0 pvq, for some p0 ě 1 and every v P Ap , then T is bounded in Lppvq for any p ą 1 and v P Ap. Although the Rubio de Francia theorem has proven to be very useful in practice, it does not allow to get estimates at p “ 1. That is why in [61] it was developed a new extrapolation theory in order to give a solution to this issue, showing that weighted restricted weak-type pp, pq estimates for p ą 1 and for an slightly bigger class than Ap (denoted by Ap) yield estimates at p “ 1. Indeed, in this thesis we start by seeing that the converse of the previous result is also true; that is, we study boundedness properties for operators T that are of restricted weak- type p1, 1q for weights in A1 and we prove that this condition is a “norm” condition since it is equivalent to weighted restricted weak-type pp, pq for Aˆp weights. As a consequence, we can obtain, for instance, boundedness for operators which are given as an average of operators of the above type. As well, we present new weighted restricted estimates on classical Lorentz spaces for operators that satisfy weighted restricted weak-type pp, pq estimates, p ě 1, extending then these results to the limited setting and, as well, to the multi-variable setting. As a conse- quence, we obtain new weighted estimates on classical Lorentz spaces for important operators in Harmonic Analysis such as operators that satisfy a Fefferman-Stein’s inequality, Fourier multipliers of Hörmander type, rough operators, sparse operators, the Bochner-Riesz operator, among others. Further, from the previous estimates we prove pointwise estimates for the decreasing rearrangement of such operators. Finally, we also study strong-type estimates on weighted classical Lorentz spaces.

Un resultat important en anàlisi harmònica és el teorema d’extrapolació de Rubio de Francia. En la seva versió original diu que si T és un operador sublineal que està acotat en Lp0 pvq, per a algun p0 ě 1 i per cada v P Ap , llavors T està acotat en Lppvq per a qualsevol p ą 1 i v P Ap. Ara bé, tot i que el teorema de Rubio de Francia ha demostrat ser molt útil en la pràctica, no permet obtenir estimacions en p “ 1. És per això que en [61] es va desenvolupar una nova teoria d’extrapolació per tal de donar una solució a aquest problema, mostrant que les estimacions ponderades de tipus feble restringit pp, pq per a p ą 1 i per a una classe una mica més gran que Ap (denotada per Ap) permeten arribar a p “ 1. De fet, en aquesta tesi comencem per veure que el recíproc del resultat anterior també és cert; és a dir, estudiem les propietats de les acotacions per als operadors T que són de tipus feble restringit p1, 1q per a pesos en A1 i demostrem que aquesta condició és una condició “norma”, ja que és equivalent a estimacions ponderades restringides de tipus feble pp, pq per a pesos Aˆp. Com a conseqüència obtenim, per exemple, acotacions d’operadors que es donen com a promig d’operadors del tipus anterior. A més a més, presentem noves estimacions ponderades de tipus restringit en espais de Lorentz clàssics per a operadors que satisfan estimacions ponderades de tipus feble restrin- git pp, pq, p ě 1, i estenem després aquests resultats a l’extrapolació limitada i, a més, a l’extrapolació multi-variable. Com a resultat, obtenim noves acotacions ponderades d’espais de Lorentz clàssics per a operadors importants en l’anàlisi harmònica com ara aquests que satisfan una desigualtat de Fefferman-Stein, multiplicadors de Fourier de tipus Hörmander, operadors rough, operadors sparse, l’operador de Bochner-Riesz, entre d’altres. A més, a par- tir de les acotacions anteriors concluïm estimacions puntuals per a la reordenada decreixent d’aquests operadors. Finalment, també estudiem estimacions de tipus fort sobre espais de Lorentz clàssics ponderats.