Contributions to the continuum modelling of strong discontinuities in two-dimensional solids

Abstract

El estudio de la mecánica computacional de fallo ha ganado creciente popularidad en los últimos años. Modelizar el comportamiento poscrítico de estructuras puede alcanzar un grado elevado de complejidad, debido a la multiplicidad de aspectos que es necesario considerar.<br/>Desde el punto de vista de la mecánica de medios continuos, el fallo está estrechamente relacionado con la localización de deformaciones. Se dice que un sólido presenta localización de deformaciones cuando existen bandas en las cuales se producen modos de deformación intensos. Este fenómeno ha sido clasificado como una inestabilidad material, ya que está ligado a modelos constitutivos con ablandamiento o con reglas de flujo no asociadas. Un enfoque fenomenológico del problema de localización de deformaciones permite su estudio mediante saltos en el campo de desplazamientos, conocidos como discontinuidades fuertes.<br/>Este trabajo propone varias técnicas numéricas que contribuyen a la modelización de discontinuidades fuertes en sólidos bidimensionales dentro del marco de la mecánica de medios continuos. Con este objetivo, se hace una revisión sistemática de los fundamentos teóricos con los cuales se puede emprender el estudio del fallo en estructuras sin salir del ámbito de la mecánica de medios continuos clásica.<br/>En primer lugar, mediante el análisis de bifurcación discontinua, se establecen las condiciones necesarias para la aparición de discontinuidades en sólidos. A continuación, se analizan las implicaciones de adoptar la cinemática de discontinuidades fuertes en el contexto de la modelización constitutiva de medios continuos mediante el análisis de discontinuidades fuertes. Establecidas estas herramientas conceptuales, se procede a estudiar una serie de formulaciones de elementos finitos con discontinuidades internas que posibiliten la simulación numérica eficiente de la evolución de interfaces de discontinuidad en sólidos.<br/>El marco de trabajo escogido se basa en el planteamiento de las ecuaciones de gobierno del problema de valores de contorno mediante una formulación de varios campos. A partir de un análisis comparativo, se determina que el elemento más eficiente es el conocido como elemento asimétrico. Su uso implica la utilización de algoritmos de trazado del camino de la discontinuidad. Luego de estudiar este tipo de algoritmos, se propone uno que, basado en una analogía con el problema de conducción del calor, permite determinar todos las posibles líneas de discontinuidad para cada paso en un proceso de carga. Este algoritmo es especialmente eficiente para gestionar la evolución de varias líneas de discontinuidad.<br/>Se estudian, además, algunos posibles problemas de estabilidad que podrían surgir. La adición de un término viscoso a la ecuación de equilibrio se adopta como solución a las posibles inestabilidades. Finalmente, se presenta una serie de ejemplos que ponen de manifiesto la potencia de las técnicas propuestas.

The study of Computational Failure Mechanics has attracted increasing attention over the past years. Modelling the postcritical behaviour of structures is by no means trivial, due to high level of complexity that it can reach . From the continuum mechanics point of view, failure is tightly related to strain localization. When bands with modes of intense deformation are observed in a solid, it is said to undergo strain localization. It has been classified as a material instability due to its close relationship with constitutive models either equipped with strain softening or having non-associative flow rules. <br/>From a phenomenological standpoint, strain localization can be regarded as an interface where a jump in the displacement field develops. These jumps in the displacement field are termed strong discontinuities. In this work, several techniques that contribute to the continuum modelling of strong discontinuities in two-dimensional solids are proposed.<br/>To this end, a systematic review of the fundamentals of the study of failure in solids within the context of Classical Continuum Mechanics is made. First, the necessary conditions for the appearance of discontinuities in solids are established by using the socalled discontinuous bifurcation analysis. Then, the implications of adopting the strong discontinuity kinematics plus the use of continuum constitutive models are studied by means of the so-called strong discontinuity analysis. With these concepts on hand, the study of finite elements with embedded discontinuities is undertaken. A very general multi-field statement of the governing equations of the boundary value problem is used as the framework to formulate the different families of elements. The comparative analysis of all the formulations leads to the conclusion that the so-called non-symmetric element is the most efficient. However, the use of this element entails the necessity of a tracking algorithm. This kind of algorithms are also studied. A tracking algorithm based on a heat-conduction-like boundary value problem that gives all the possible discontinuity lines for a given time step in a loading process is proposed. This algorithm is specially suitable for managing multiple discontinuity interfaces. The problems of stability and uniqueness that can appear when simulating the evolution of discontinuity interfaces are analyzed and the addition of a regularizing damping term to the momentum balance equation was proposed. Finally, the proposed techniques were tested by means of some numerical examples.