Métodos de escisión y composición para ecuaciones diferenciales y aplicaciones

Abstract

En la presente tesis por compendio de publicaciones se han realizado nuevas aportaciones al campo de la integración geométrica construyendo nuevos métodos: - Nuevos métodos de composición para utilizarse en problemas separables en tres o más partes. - Integradores de escisión tipo RKN de orden alto haciendo uso de técnicas de continuación numérica. - Composiciones pseudo-simétricas con coeficientes complejos y con la parte real positiva. Por tanto estas composiciones son validas para integrar preservando, hasta cierto orden (mayor que el del propio método), el comportamiento cualitativo de las soluciones en aquellos problemas donde los tamaños de paso negativos son un impedimento. - Nueva familia de integradores con coeficientes complejos haciendo uso de combinaciones lineales de métodos simétrico-conjugados. - Primer análisis detallado de las composiciones simétrico-conjugadas aplicadas a problemas definidos en R. - Utilización de métodos simétrico-conjugados en problemas unitarios.

In this thesis, a compendium of publications, we have made new contributions to the field of geometric integration, building new splitting and composition methods. We have designed new composition methods to be used for problems separable into three or more parts. We have constructed high-order RKN symplectic integrators using numerical continuation techniques. We have built families of composition methods with complex coefficients, intended for problems where negative step sizes cannot be used. These methods are projected onto the real axis after each integration step and preserve symmetry and symplecticity (after projection) up to orders higher than that of the (unprojected) method itself. We present the first analysis of these methods, comparing the geometric properties of methods which are (only) symmetric-conjugate with those of methods which are (also) symmetric. The error terms, the number of steps necessary to reach a given order and the preservation of temporal symmetry and symplecticity have been studied. Finally, we have applied these symmetric-conjugate methods to unitary problems and we have studied the conservation of unitarity.