Nonlocal Lagrangian Formalism

Abstract

[eng] This thesis aims to study nonlocal Lagrangians with a finite and an infinite number of degrees of freedom. We obtain an extension of Noether's theorem and Noether's identities for such Lagrangians. We then set up a Hamiltonian formalism for them. Furthermore, we show that rth-order Lagrangians can be treated as a particular case, and the expected results are recovered. Finally, the method developed is applied to different examples: nonlocal harmonic oscillator, p-adic particle, p-adic open string field, and electrodynamics of dispersive media.

We divide this thesis into three blocks:

In the first block, we review the Lagrangian and Hamiltonian formalism for first-order and rth-order theories with a finite and an infinite number of degrees of freedom. In addition, we examine Noether’s first and second theorem for such Lagrangians, and we show that, by adding a total derivative to them, their equations of motion remain unchanged. For the particular case of rth-order Lagrangians with an infinite number of degrees of freedom, we focus on the Poincaré symmetry. We find the corresponding canonical energy-momentum tensor and the spin current. Furthermore, we indicate how to obtain the so-called Belinfante-Rosenfeld energy-momentum tensor. Finally, we discuss how Lagrangian and Hamiltonian formalisms are affected by extending them to theories of infinite order.

In the second block, we present the nonlocal Lagrangian formalism for a finite and an infinite number of degrees of freedom. We begin by introducing what we mean by time evolution. We then establish the principle of least action and obtain their equations of motion. Furthermore, we show that every nonlocal Lagrangian can be written as a nonlocal total derivative (or quadri-divergence for the case of an infinite number of degrees of freedom). Next, we demonstrate that its equations of motion are not identically zero and give an example to visualize this fact. We then find a sufficient asymptotic condition so that the equations of motion are unaffected by introducing a nonlocal total derivative (or quadri-divergence).

We extend Noether's first and second theorems for such Lagrangians. For the case of nonlocal Lagrangians with an infinite number of degrees of freedom, as in the first block, we focus on the Poincaré symmetry and obtain the canonical energy-momentum tensor and the spin current. Thanks to this extension, it allows us to politely infer (or propose) (based on the analogy of the local case) a Lagrange transformation to construct a Hamiltonian formalism for them.

Finally, in the third block, we exemplify the formalism developed. To do so, we choose four examples: nonlocal harmonic oscillator, p-adic particle, p-adic open string field, and electrodynamics of dispersive media. In the first two, we obtain the Hamiltonian and the symplectic form. As for the example of the p-adic open string field, we obtain the Hamiltonian, the symplectic form, and the components of the canonical and Belinfante-Rosenfeld energy-momentum tensors. For the latter, only the components of the canonical and Belinfante-Rosenfeld energy-momentum tensors.

[spa] Esta tesis tiene como objetivo estudiar Lagrangianos no locales con un número finito e infinito de grados de libertad. Obtenemos una extensión del teorema de Noether y las identidades de Noether para tales Lagrangianos. A continuación, establecemos un formalismo Hamiltoniano para ellos. Además, mostramos que los Lagrangianos de orden r pueden tratarse como un caso particular, y se recuperan los resultados esperados. Finalmente, el método desarrollado se aplica a diferentes ejemplos: oscilador armónico no local, partícula p-ádica, campo de cuerdas abiertas p-ádicas y electrodinámica de medios dispersivos.

Comenzamos revisando el formalismo Lagrangiano y Hamiltoniano para teorías de primer y r-ésimo orden con un número finito e infinito de grados de libertad. Examinamos el primer y segundo teorema de Noether. Nos centramos en la simetría de Poincaré y encontramos el correspondiente tensor de energía-momento canónico y la corriente de espín. Por último, discutimos cómo se ven afectados los formalismos Lagrangiano y Hamiltoniano al extenderlos a teorías de orden infinito.

Presentamos el formalismo Lagrangiano no local para un número finito e infinito de grados de libertad. Establecemos el principio de mínima acción y obtenemos las ecuaciones de movimiento. Además, demostramos que todo Lagrangiano puede escribirse como una derivada total no local (o cuadri-divergencia), y que sus correspondientes ecuaciones de movimiento no son idénticamente cero. Damos un ejemplo para visualizar este hecho. A continuación, encontramos una condición asintótica suficiente para que las ecuaciones de movimiento no se vean afectadas por la introducción de una derivada total no local (o cuadri-divergencia).

Extendemos el primer y segundo teorema de Noether para Lagrangianos no locales. Nos centramos en la simetría de Poincaré y obtenemos el tensor de energía-momento canónico y la corriente de espín. Gracias a esta extensión, nos permite proponer (basándonos en la analogía del caso local) una transformación de Lagrange para construir un formalismo Hamiltoniano.

Finalmente, ejemplificamos el formalismo desarrollado con cuatro ejemplos: oscilador armónico no local, partícula p-ádica, campo de cuerdas abiertas p-ádicas y electrodinámica de medios dispersivos.