Random walks under stochastic resetting from a renewal perspective

Abstract

Els models estocàstics amb resets han atret l’interès de físics I físiques gràcies a la simplicitat de la seva formulació, al seu ample rang d’aplicabilitat I a les propietats que emergeixen quan certs sistemes es reinicien estocàsticament (per exemple, la formació d’estats estacionaris de no equilibri I l’optimització del temps de compleció de certs processos estocàstics). En els articles que conformen aquesta tesi, investiguem com la teoria de renovació (“renewal theory”, en anglès) proporciona un esquema que permet estudiar els processos estocàstics amb resets d’una forma senzilla. En aquest treball posem el focus en caminants aleatoris difusius I, en alguns casos, en altres tipus de moviment estocàstic, tot I que la majoria dels resultats es poden generalitzar a altres tipus de sistemes. Emprem equacions de renovació per generalitzar propietats de la difusió amb resets Markovians I introduïm nous elements als models existents, com per exemple un període d’inactivitat posterior a cada reset I un model amb resets a velocitat finita. Basant-nos en la teoria de renovació, proposem dues noves magnituds per estudiar els processos estocàstics amb resets: els temps des de l’últim reset I fins al següent reset, condicionat que coneixem l’estat actual del sistema (per exemple, la posició).

Los modelos estocásticos con reseteo han atraído el interés de físicos y físicas debido a su simple formulación, a su amplio rango de aplicabilidad y a las propiedades que emergen cuando ciertos sistemas se resetean estocásticamente (por ejemplo, la formación de estados estacionarios de no equilibrio y la optimización del tiempo de compleción de ciertos procesos estocásticos). En los artículos que conforman esta tesis, investigamos como la teoría de renovación (“renewal theory”, en inglés) proporciona un esquema que permite estudiar los procesos estocásticos con reseteo con sencillez. En este trabajo ponemos el foco en caminantes aleatorios difusivos y, en algunos casos, en otros tipos de movimiento estocástico, aunque la mayoría de los resultados se pueden generalizar a otros tipos de sistemas. Usamos ecuaciones de renovación para generalizar propiedades de difusión con reseteo Markoviano e introducimos nuevos elementos a los modelos existentes, como por ejemplo un periodo de inactividad posterior al reseteo y un modelo de reseteo a velocidad finita. Basándonos en la teoría de renovación, proponemos dos nuevas magnitudes para estudiar los procesos estocásticos con reseteo: los tiempos desde el último y hasta el siguiente reseteo, dado que conocemos el estado actual del sistema (por ejemplo, la posición).

Stochastic models including resetting have attracted interest from the physics community due to their simple formulation, their wide range of applicability, and the properties emerging on the systems when restarted stochastically (e.g. the formation of non-equilibrium steady states and the optimization of the completion time of stochastic processes). In the articles composing this thesis, we investigate in what manner renewal theory provides an advantageous scheme to study stochastic processes with resets. We predominantly focus on diffusive random walks and, in some cases, on other types of stochastic motion, though most of the results can be straightforwardly generalized to other systems. We employ renewal equations to generalize some features of diffusion under Markovian resetting and to introduce novel elements to the previous models, such as an inactive period after resets and finite velocity resetting. Using the knowledge from renewal theory, we propose two novel magnitudes to study stochastic processes under resets: the conditioned backward and forward times. These are, respectively, the times since the last and until the upcoming reset given that we know the current state of the system (e.g. the position).