Entanglement, non-locality and quantum maps in systems of indistinguishable particles

Abstract

L’entrellaçament quàntic i la no localitat representen dos dels fenòmens més sorprenents de la física quàntica, la importància dels quals es reconeix no només des d’un punt de vista conceptual, sinó també a la llum de les seves aplicacions en diversos protocols d’informació quàntica. Per aquesta raó, trobar criteris per a la caracterització d’aquests fenòmens en sistemes de molts cossos és una qüestió molt important. Malauradament, ja en el cas de sistemes de baixa dimensió, aquesta tasca sol ser extremadament difícil de resoldre i, de fet, s’ha demostrat que la seva solució és NP-difícil (NP-hard) en el cas general. Una estratègia típica per simplificar el problema és considerar sistemes dotats de simetries en què sembla raonable esperar que un grau d’ordre més gran pugui resultar en una reducció de la complexitat del problema original. En aquesta tesi, investiguem la caracterització de l’entrellaçament i de les correlacions no locals en sistemes de partícules indistingibles, els estats dels quals, anomenats simètrics, són invariants sota qualsevol intercanvi de les parts. En primer lloc, en el context de la detecció d’entrellaçament, establim una dualitat formal entre el problema de separabilitat per a estats simètrics de dos qudits en dimensió arbitrària i la teoria de matrius copositives. Aquesta correspondència és particularment valuosa per detectar estats entrellaçats que són positius sota transposició parcial (PPTES) i per relacionar les propietats dels entanglement witnesses (testimoni d’entrellaçament) que els detecten amb les de les matrius copositives associades. La dualitat entre aquests conceptes permet generar famílies d’estats simètrics PPTES entrellaçats en dimensió arbitrària i pot ser explotada a més utilitzant tècniques de semidefinit programming per generar exemples de matrius copositives excepcionals, la caracterització de les quals sol ser molt difícil. En segon lloc, investiguem la robustesa de la no localitat en sistemes simètrics de molts cossos que interactuen amb un entorn extern. Utilitzant desigualtats de Bell, demostrem que les correlacions no locals no només sobreviuen en presència de soroll tèrmic, sinó també en el cas d’estats estacionaris de no-equilibri. A més, inspeccionem un escenari on el sistema de molts cossos se sotmet a mesures repetides, demostrant que, fins i tot en aquest cas, la no-localitat sobreviu a l’efecte de la dissipació durant un temps curt, encara que significatiu. Finalment, la darrera part d’aquesta tesi ha estat dedicada a l’anàlisi de les xarxes neuronals quàntiques del tipus atractor (aQNNs). En aquest cas, atesa la complexitat del model, les simetries són fortament desitjables per reduir la intrincació original del problema. Sota aquestes hipòtesis, demostrem que el rendiment de les aQNNs es pot estudiar utilitzant eines de la teoria de recursos de la coherència, les quals proporcionen el marc idoni per analitzar les propietats dels mapes quàntics que descriuen l’ evolució de les aQNNS.

El entrelazamiento y la no localidad representan dos de los fenómenos más sorprendentes de la física cuántica, cuya importancia se reconoce no sólo desde un punto de vista conceptual, sino también a la luz de sus aplicaciones en diversos protocolos de información cuántica. Por esta razón, encontrar criterios para la caracterización de dichos fenómenos en sistemas de muchos cuerpos es una cuestión de suma importancia. Tipicamente, ya incluso para sistemas de baja dimensión, esta tarea suele ser extremadamente difícil de resolver y, de hecho, se ha demostrado que determinar si un sistema es entrelazado es NP-difícil en el caso general. Una estrategia típica para simplificar este problema es considerar sistemas dotados de simetrías en los que parece razonable esperar que un mayor grado de orden pueda resultar en una reducción de la complejidad del problema original. En esta tesis, investigamos la caracterización del entrelazamiento y de las correlaciones no locales en sistemas de partículas indistinguibles, cuyos estados, denominados \textit{simétricos}, son invariantes bajo cualquier intercambio de las partes. En primer lugar, en el contexto de la detección de entrelazamiento, establecemos una dualidad formal entre el problema de separabilidad para estados simétricos bipartitos en dimensión arbitraria y la teoría de matrices copositivas. Dicha correspondencia es particularmente valiosa para detectar estados entrelazados que son positivos bajo transposición parcial (PPTES) y para relacionar las propiedades de los entanglement witnesses (testigos de entrelazamiento) que los detectan con las de las matrices copositivas asociadas. La dualidad entre estos conceptos permite generar familias de estados simétricos bipartitos PPTES en dimensión arbitraria, y permite utitzando técnicas de semidefinite programming generar ejemplos de matrices copositivas excepcionales, cuya caracterización suele ser muy difícil. En segundo lugar, investigamos la robustez de la no localidad en sistemas simétricos de muchos cuerpos que interactúan con un entorno externo. Utilizando desigualdades de Bell, demostramos que las correlaciones no locales sobreviven no sólo en presencia de ruido térmico, sino también en el caso de estados estacionarios de no-equilibrio. Además, inspeccionamos un escenario en el que el sistema de muchos cuerpos se somete a medidas repetidas, demostrando que, incluso en este caso, la no-localidad sobrevive al efecto de la disipación durante un tiempo corto, aunque significativo. Finalmente, la última parte de esta tesis ha sido dedicado al análisis de las redes neuronales cuánticas llamadas atractoras (aQNNs). En este caso, dada la complejidad del modelo, las simetrías son fuertemente deseadas para reducir la intrincación original del problema. Bajo estas hipótesis, demostramos que el rendimiento de las aQNNs puede estudiarse utilizando herramientas de la teoría de recursos de la coherencia, que proporciona un marco conveniente para analizar las propiedades de los mapas cuánticos que describen la evolución de las aQNNS.

Entanglement and non-locality represent two of the most striking phenomena of quantum physics whose importance is acknowledged not only from a conceptual point of view but also in light of their applications in a variety of quantum information protocols. For this reason, finding criteria for their characterisation in many-body systems, is a question of uttermost importance. Unfortunately, already in the case of low dimensional systems, this task is usually extremely difficult to solve and indeed, its solution has been proven to be NP-hard in the general scenario. A typical strategy to circumvent this drawback is to consider systems endowed with symmetries where it seems natural to expect that a higher degree of order might result in a reduced complexity of the original problem. In this thesis, we investigate the characterisation of entanglement and non-local correlations in systems of indistinguishable particles, whose states, dubbed \textit{symmetric}, are invariant under any exchange of the parties. First, in the context of entanglement detection, we establish a formal duality between the separability problem for two-qudit symmetric states in arbitrary dimension and the theory of copositive matrices. Such correspondence is particularly valuable to detect entangled states which are positive under partial transposition (PPTES) and to relate the properties of the entanglement witnesses that detect them with those of the associated copositive matrices. The duality between these concepts allows to generate families of two-qudit symmetric PPTES states in arbitrary dimension and can be further exploited with semidefinite programming techniques to generate examples of exceptional copositive matrices, which are typically hard to characterise. \noindent Second, we investigate the robustness of non-locality in symmetric many-body systems which interact with an external environment. Using Bell inequalities we show that non-local correlations survive not only in the presence of thermal noise, but also in the case of non-equilibrium stationary states. Moreover, we inspect a scenario where the many-body system undergoes repeated measurements, showing that, also in this case, non-locality survives the effect of the dissipation for a short, although significant, time. Finally, the last part of this thesis has been devoted to the analysis of the so-called attractor quantum neural networks (aQNNs). In this case, given the complexity of the model, symmetries are strongly desired to reduce the original intricacy of the problem. With this assumptions, we show that the performance of aQNNs can be studied using tools of the resource theory of coherence, which provides a convenient framework to inspect the properties of the quantum maps that describe the evolution of aQNNS.