Directed hereditary species and Decomposition spaces of intervals

Abstract

En la tesi actual, estudiem la teoria dels espais de descomposició, centrant-nos en la construcció d’intervals per a espais de descomposició i l’espai de descomposició d’intervals subdividits U, que va ser construït per Gálvez, Kock i Tonks com a destinatari de la construcció de l’interval de Lawvere. El nostre interès en U es deu a la Gálvez--Kock--Tonks conjectura, que estableix que U gaudeix d’una certa propietat universal: per a tot espai de descomposició complet X, l’espai de funtores culf de X a U és contractable.

La primera contribució, desenvolupada en col·laboració amb Alex Cebrian, és introduir el concepte d’espècies hereditàries dirigides connectades i no connectades i mostrar que han associat espais de descomposició monoidal, biàlgebres de comòduls i categories operadicas.La segona contribució és demostrar la conjectura de Gálvez--Kock--Tonks. Primer, vam demostrar la conjectura pel cas discret. Per al cas general de la conjectura, imposem els límits cardinals a través de la condició de Möbius per als espais de descomposició. Aquesta és una certa condició de finitud que assegura que el principi d’inversió general de Möbius admet una cardinalitat homotopica. Des d’aquesta perspectiva, demostrar la conjectura és equivalent a demostrar que l’espai de descomposició dels intervals de Möbius subdividits és un objecte terminal en la categoria d’espais de descomposició de Möbius i funtors culf. La demostració es dóna combinant teoria de (∞, 2)-colimits, la construcció d’intervals, i la straightening-unstraightening equivalència ∞-categories. El cas de Möbius, juntament amb el fet que la ∞-categoria d’espais de descomposició i functors culf és localment un ∞-topos implica que la ∞-categoria d’espais de descomposició deMöbius i funtors culf és un ∞-topos.

En la presente tesis se estudia los espacios de descomposición, con énfasis en la construcción de intervalos y el espacio de descomposición de intervalos subdivididos U, el cual fue construido por Gálvez, Kock y Tonks como una generalización de la construcción de intervalos de Lawvere. El interés en U radica en la Gálvez-Kock-Tonks conjetura que afirma que U posee cierta propiedad universal: para todo espacio de descomposición completo X, el espacio de funtores culf de X a U es contráctil. La primera contribución, desarrollada en colaboración con Alex Cebrian, es introducir el concepto de especies hereditarias dirigidas conectadas y no conectadas y mostrar que tienen asociadas espacios de descomposición, comodulo bialgebras y categorías operadicas. La segunda contribución es probar la Gálvez-Kock-Tonks conjetura. Primero probamos la conjetura para el caso discreto. Para el caso general imponemos cotas cardinales a través de la condición de Möbius para espacios de descomposición. Esta es cierta condición de finitud que permite que el principio general de inversión de Möbius admite cardinalidad homotópica. Desde esta perspectiva probar la conjetura es equivalente a probar que el espacio de descomposición de intervalos subdivididos de Möbius es un objeto terminal en la ∞-categoría de espacios de descomposición de Möbius y de funtores culf. La prueba es una combinación de teoría de (∞,2)-colimites, la construcción de intervalos, y la straightening-unstraightening equivalencia de ∞-categorías. El caso Möbius junto al hecho que la ∞-categoría de espacios de descomposición y funtores culf es localmente un ∞-topos implica que la ∞-categoría de espacios de descomposición de Möbius y funtores culf es un ∞-topos.

In the present thesis, we study the theory of decomposition spaces, focusing on the interval construction for decomposition spaces and the decomposition space of subdivided intervals U, which was constructed by Gálvez, Kock, and Tonks as a recipient of Lawvere’s interval construction. Our interest in U is due to the Gálvez--Kock--Tonks conjecture, which states that U enjoys a certain universal property: for every complete decomposition space X, the space of culf functors from X to U is contractible. The first main contribution, developed in collaboration with Alex Cebrian, is to introduce the concept of connected and non-connected directed hereditary species and show that they have associated monoidal decomposition spaces, comodule bialgebras, and operadic categories. The second main contribution is to prove the Gálvez--Kock--Tonks conjecture. First, we proved the conjecture for the discrete case. For the general case of the conjecture, we impose cardinal bounds through the Möbius condition for decomposition spaces. This is a certain finiteness condition ensuring that the general Möbius inversion principle admits a homotopy cardinality. From this perspective proving the conjecture is equivalent to proving that the decomposition space of subdivided Möbius intervals is a terminal object in the ∞-category of Möbius decomposition spaces and culf maps. The proof is given by combining the theory of (∞,2)-colimits, the interval construction, and the straightening-unstraightening equivalence of ∞-categories. The Möbius case, together with the fact that the ∞-category of decomposition spaces and culf maps is locally an ∞-topos imply that the ∞-category of Möbius decomposition spaces and culf maps is an ∞-topos.