New methods in the study of problems in Statistical Mechanics and Stochastic Processes

Abstract

Aquesta tesi està centrada en el desenvolupament d'eines computacionals avançades per a la predicció i el control de fenòmens científics. Aquest treball es divideix en dues parts ben definides. A la primera part, el nostre objectiu és controlar el diagrama de fases del sistema ternari compost per aigua, gelatina i maltodextrina, que és una emulsió d'aigua en aigua de gran importància en la producció daliments. Desenvolupem un enfocament numèric, basat en la teoria de Flory-Huggins (FH), amb una aplicació d'una regressió no lineal de Xarxes Neuronals (NN). El resultat d'aquesta part és proporcionar els paràmetres FH que millor descriuen el sistema ternari d'interès. A la segona part, ens centrem en les equacions diferencials aleatòries (EDA). Aquest tipus d'EDA resulten ser equivalents al problema molt conegut i antic (TVA) de la Transformació d'una Variable Aleatòria (VA) en una altra VA sota l'acció d'una determinada funció de mapeig g. La nostra contribució proporciona una nova descripció matemàtica de funcions que permet trobar fàcilment totes les imatges prèvies d'una funció donada g en el cas de g no invertible. Amb aquesta eina matemàtica, podem resoldre fàcilment el problema TVA pel cas general. Aleshores, la nostra contribució teòrica es pot implementar per produir un algorisme molt efectiu i precís per resoldre l'EDA esmentat anteriorment amb un cost computacional molt baix.

Esta tesis está centrada en el desarrollo de herramientas computacionales avanzadas para la predicción y control de fenómenos científicos. Este trabajo se divide en dos partes bien definidas. En la primera parte, nuestro objetivo es controlar el diagrama de fases del sistema ternario compuesto por agua, gelatina y maltodextrina, que es una emulsión de agua en agua de gran importancia en la producción de alimentos. Desarrollamos un enfoque numérico, basado en la teoría de Flory-Huggins (FH), con una aplicación de una regresión no lineal de Redes Neuronales (NN). El resultado de esta parte es proporcionar los parámetros FH que mejor describen el sistema ternario de interés. En la segunda parte, nos centramos en las ecuaciones diferenciales aleatorias (EDA). Este tipo de EDA resultan ser equivalentes al muy conocido y antiguo problema (TVA) de la Transformación de una Variable Aleatoria (VA) en otra VA bajo la acción de una determinada función de mapeo g. Nuestra contribución proporciona una nueva descripción matemática de funciones que permite encontrar fácilmente todas las imágenes previas de una función dada g en el caso de g no invertible. Con esta herramienta matemática, podemos resolver fácilmente el problema TVA para el caso general. Entonces, nuestra contribución teórica se puede implementar para producir un algoritmo muy efectivo y preciso para resolver el EDA mencionado anteriormente con un costo computacional muy bajo.

This thesis is focused on the development of advanced computational tools for prediction and control of scientific phenomena. The work is divided into two well defined parts. In the first part, our aim is to control the phase diagram of the ternary system composed of water, gelatin and maltodextrin, which is a water in water emulsion of great importance in food production. We develop a numerical approach, based on the Flory-Huggins (FH) theory, with an application of a Neural Network (NN) non-linear regression. The result of this part is to provide the FH-parameters that best describe the ternary system of interest. In the second part, we focus on Random differential Equations (RDE). These type of RDE turn to be equivalent to the very well known and very old (RVT) problem of the transformation of a Random Variable (RV) into another RV under the action of a given mapping function g. Our contribution provides a new mathematical description of functions that allows to easily find all the pre-images of a given function g in the case of non-invertible g. With this mathematical tool, we can easily solve the RVT problem for the general case. Then, our theoretical contribution can be implemented to produce a very effective and precise algorithm to solve the above mentioned RDE with a very low computational cost.