Three problems in harmonic analysis and approximation theory

Abstract

En aquesta tesi abordem tres problemes d'anàlisi harmònica i teoria d'aproximació. El primer problema fa referència a les relacions de Hardy-Littlewood per sèries de Fourier en dues dimensions, el segon està relacionat amb estimacions dels coeficients d'un polinomi trigonomètric en diferents bases, i el tercer es refereix a particions multidimensionals.

Pel que fa al primer problema, demostrem el teorema de Hardy-Littlewood en dues dimensions per a funcions els coeficients de Fourier de les quals obeeixen condicions generals de monotonicitat i, el que és important, no són necessàriament positius. El teorema de Hardy-Littlewood és un anàleg de la identitat de Parseval que estableix equivalències entre normes de funcions i normes dels seus coeficients de Fourier sota condicions addicionals. Resultats d'aquest tipus són importants, en primer lloc, perquè un cop trobada aquesta relació, quedem lliure d'escollir si és més pràctic tractar amb funcions o amb coeficients en cada cas, com si es tingués la identitat de Parseval. L'optimalitat del nostre resultat és donada per un contraexemple, que mostra que si s'amplia lleugerament la classe de coeficients considerada, la relació de Hardy-Littlewood falla.

En el segon problema, mostrem que per a qualsevol polinomi algebraic parell p es pot trobar un polinomi en cosinus amb suma arbitràriament petita dels valors absoluts dels coeficients tal que els primers coeficients de la seva representació com a polinomi algebraic en cos x coincideixin amb els de p. Per provar el resultat esmentat, considerem la matriu de coeficients dels polinomis de Chebyshev i derivem una fórmula explícita per a la inversa de les submatrius quadrades. En el curs de la demostració del resultat principal, també donem algunes estimacions útils sobre sumes de productes de coeficients binomials que apareixen a l'expressió per a les entrades de la pseudoinversa de la matriu de Vandermonde.

Finalment, al tercer problema obtenim estimacions per al nombre de particions d-dimensionals d'un número n. Sobretot, mostrem que si n és prou gran comparat amb d, aleshores el logaritme del nombre de particions d-dimensionals de n és fins a una constant absoluta n^(d/(d+1)). Per establir el resultat, introduïm la noció de subconjunts disponibles dels anomenats conjunts inferiors (o equivalentment, dels diagrames de partició) i obtenim estimacions òptimes per a les seves cardinalitats en casos de n gran. A més, proporcionem estimacions del nombre de particions d-dimensionals de n per a diferents rangs de d en termes de n, que donen el comportament asimptòtic del logaritme d'aquest número en cada cas.

En esta tesis abordamos tres problemas de análisis armónico y teoría de aproximación. El primer problema se refiere a las relaciones de Hardy-Littlewood para series de Fourier en dos dimensiones, el segundo está relacionado con estimaciones de los coeficientes de un polinomio trigonométrico en diferentes bases, y el tercero se refiere a particiones multidimensionales.

Respecto al primer problema, demostramos el teorema de Hardy-Littlewood en dos dimensiones para funciones cuyos coeficientes de Fourier obedecen condiciones generales de monotonicidad y, lo que es importante, no son necesariamente positivos. El teorema de Hardy-Littlewood es un análogo de la identidad de Parseval que establece equivalencias entre normas de funciones y normas de sus coeficientes de Fourier bajo condiciones adicionales. Resultados de este tipo son importantes, en primer lugar, porque una vez encontrada dicha relación, quedamos libres de elegir si es más práctico tratar con funciones o con coeficientes en cada caso, como si se tuviera la identidad de Parseval. La optimalidad de nuestro resultado viene dada por un contraejemplo, que muestra que si se amplía ligeramente la clase de coeficientes considerada, la relación Hardy-Littlewood falla.

En el segundo problema, mostramos que para cualquier polinomio algebraico par p se puede encontrar un polinomio en cosenos con una suma arbitrariamente pequeña de los valores absolutos de los coeficientes tal que los primeros coeficientes de su representación como polinomio algebraico en cos x coincidan con los de p. Para probar el resultado mencionado, consideramos la matriz de los coeficientes de los polinomios de Chebyshev y derivamos una fórmula explícita para la inversa de sus submatrices cuadradas. En el curso de la demostración del resultado principal, también damos algunas estimaciones útiles sobre sumas de productos de coeficientes binomiales que aparecen en la expresión para las entradas de la pseudoinversa de la matriz de Vandermonde.

Finalmente, en el tercer problema obtenemos estimaciones para el número de particiones d-dimensionales de un número n. Mostramos que si n es suficientemente grande comparado con d, entonces el logaritmo del número de particiones d-dimensionales de n es hasta una constante absoluta n^(d/(d+1)). Para establecer el resultado, introducimos la noción de subconjuntos disponibles de los llamados conjuntos inferiores (o equivalentemente, de los diagramas de partición) y obtenemos estimaciones óptimas para sus cardinalidades en casos de n grande. Además, proporcionamos estimaciones del número de particiones d-dimensionales de n para diferentes rangos de d en términos de n, que dan la asintótica del logaritmo de este número en cada caso.

In this dissertation, we deal with three problems in harmonic analysis and approximation theory. The first problem concerns the Hardy-Littlewood relations for Fourier coefficients in the two-dimensional setting, the second one is related to estimates of the coefficients of a trigonometric polynomial in different bases, and the third one refers to multidimensional integer partitions.

Regarding the first problem, we prove the Hardy-Littlewood theorem in two dimensions for functions whose Fourier coefficients obey general monotonicity conditions and, importantly, are not necessarily positive. The Hardy-Littlewood theorem is an analogue of Parseval's identity that establishes equivalences of norms of functions and norms of their Fourier series under some additional requirements. Results of this kind are important, in the first place, due to the fact that once such a relation is found, one becomes free to choose if it is handy to deal with functions or with coefficients in this or that case, as if having Parseval's identity. The sharpness of our result is given by a counterexample, which shows that if one slightly extends the considered class of coefficients, the Hardy-Littlewood relation fails.

In the second problem, we show that for any even algebraic polynomial p one can find a cosine polynomial with an arbitrary small sum of the absolute values of coefficients such that the first coefficients of its representation as an algebraic polynomial in cos x coincide with those of p. To prove the mentioned result, we consider the matrix of the coefficients of Chebyshev polynomials and derive an explicit formula for the inverse of its square submatrices. In the course of the proof of the main result, we also give some useful estimates on sums of products of binomial coefficients appearing in the expression for entries of the pseudoinverse of a Vandermonde matrix.

Finally, in the third problem, we obtain estimates for the number of d-dimensional integer partitions of a number n. Importantly, we show that if n is sufficiently large compared to d, then the logarithm of the number of d-dimensional partitions of n is up to an absolute constant n^(d/(d+1)). To establish the result, we introduce the notion of available subsets of the so-called lower sets (or equivalently, of the partition diagrams) and obtain sharp estimates for their cardinalities in cases of large n. This in turn allows us to estimate the number of lower subsets of lower sets. Besides, we provide estimates of the number of d-dimensional integer partitions of n for different ranges of d in terms of n, which give the asymptotics of the logarithm of this number in each case.