Classification of Generalized Hadamard Codes Obtained From Additive Codes Over Z/p^s and Some Mixed Alphabets

Abstract

Aquesta tesi doctoral es centra en els codis Hadamard generalitzats (GH) obtinguts a partir de codis additius sobre Z_{p^s} i alguns alfabets mixtes. Els codis GH són codis (n,pn,n(p-1)/p), que són òptims respecte al límit de Plotkin. La classificació dels codis GH no lineals encara és un problema obert, lluny de ser resolt. El nombre de codis GH no equivalents només és conegut per a mides petites. En aquesta tesi doctoral, l'objectiu principal és classificar els codis GH d'una mida donada. Malgrat que la classificació completa està lluny de ser resolta, presentem nous resultats en aquesta direcció.

Els codis additius ZpZp^2...Zp^s són subgrups de Z_p^{alpha_1} X Z_{p^2}^{alpha_2} X...X Z_{p^s}^{alpha_s}. Un codi GH ZpZp^2...Zp^s-lineal és un codi Hadamard generalitzat sobre Zp que és la imatge pel mapa Gray d'un codi ZpZp^2...Zp^s-additiu. Per a p=2, escrivim Hadamard en lloc de GH a les definicions. Generalitzem alguns resultats coneguts per a codis Hadamard Z_2^s-lineals i Z2Z4-lineals a codis GH Z_{p^s}-lineals amb $p\geq 3$ primer i codis GH ZpZp^2...Zp^s-lineals amb p>= 3 primer quan s=2 i p=2 quan s=3. Describim construccions recursives per a algunes famílies d'aquests codis de tipus (alpha_1, ..., alpha_s;t_1,..., t_s). Es mostra per a quins tipus els corresponents codis GH ZpZp^2...Zp^s-lineals de longitud p^t són no lineals. Per a aquests codis, es calcula el rang i la dimensió del nucli, que permet donar una classificació parcial d'aquests codis. En alguns casos, es pot proporcionar una classificació completa, donant la quantitat exacta de codis no equivalents per a una longitud donada. S'estudien les relacions d'equivalència entre diverses famílies infinites d'aquests codis. Donem algunes famílies infinites de codis GH ZpZp^2-lineals no lineals que no són equivalents a cap codi GH Z_{p^s}-lineal amb s>= 2. També provem l'existència de diverses famílies infinites d'aquests codis Hadamard Z2Z4Z8-lineals no lineals, que no són equivalents a cap altre codi Hadamard Z2Z4Z8-lineal construït, ni a cap codi Hadamard Z2Z4-lineal, ni a cap codi Hadamard Z_{2^s}-lineal prèviament construït amb la mateixa longitud 2^t.

Esta tesis doctoral se centra en los códigos Hadamard generalizados (GH) obtenidos a partir de códigos aditivos sobre Z_{p^s} y algunos alfabetos mixtos. Los códigos GH son códigos (n,pn,n(p-1)/p), que son óptimos respecto al límite de Plotkin. La clasificación de los códigos GH no lineales sigue siendo un problema abierto, lejos de estar resuelto. El número de códigos GH no equivalentes solo se conoce para tamaños pequeños. En esta tesis doctoral, el objetivo principal es clasificar los códigos GH de un tamaño dado. Aunque la clasificación completa está lejos de ser resuelta, presentamos nuevos resultados en esta dirección.

Los códigos aditivos ZpZp^2...Zp^s son subgrupos de Z_p^{alpha_1} X Z_{p^2}^{alpha_2} X...X Z_{p^s}^{alpha_s}. Un código GH ZpZp^2...Zp^s-lineal es un código Hadamard generalizado sobre Zp que es la imagen por el mapa Gray de un código ZpZp^2...Zp^s-aditivo. Para p=2, escribimos Hadamard en lugar de GH en las definiciones. Generalizamos algunos resultados conocidos para códigos Hadamard Z_{2^s}-lineales y Z2Z4-lineales a códigos GH Z_{p^s}-lineales con p>=3 primo y códigos GH ZpZp^2...Zp^s-lineales con p>=3 primo cuando s=2 y p=2 cuando s=3. Describimos construcciones recursivas para algunas familias de estos códigos de tipo (alpha_1, ..., alpha_s;t_1,..., t_s). Se muestra para qué tipos los correspondientes códigos GH ZpZp^2...Zp^s-lineales de longitud p^t son no lineales. Para estos códigos, se calcula el rango y la dimensión del núcleo, lo que nos permite dar una clasificación parcial de estos códigos. En algunos casos, se puede proporcionar una clasificación completa, dando la cantidad exacta de códigos no equivalentes para una longitud dada. Se estudian las relaciones de equivalencia entre varias familias infinitas de estos códigos. Presentamos algunas familias infinitas de códigos GH ZpZp^2-lineales no lineales que no son equivalentes a ningún código GH Z_{p^s}-lineal con s>=2. También demostramos la existencia de varias familias infinitas de estos códigos Hadamard Z2Z4Z8-lineales no lineales, que no son equivalentes a ningún otro código Hadamard Z2Z4Z8-lineal construido, ni a ningún código Hadamard Z2Z4-lineal, ni a ningún código Hadamard Z_{2^s}-lineal previamente construido con la misma longitud 2^t.

This PhD thesis is focused on generalized Hadamard (GH) codes obtained from additive codes over Z_{p^s} and some mixed alphabets. GH codes are (n,pn,n(p-1)/p) codes, which are optimal with respect to Plotkin bound. The classification of nonlinear GH codes is still an open problem, which is far from being solved. The number of nonequivalent GH codes is only known for small sizes. In this PhD thesis, the main goal is to classify GH codes of a given size. Even though the full classification is far from being established, we present new results in this direction.

The ZpZp^2...Zp^s-additive codes are subgroups of Z_p^{alpha_1} X Z_{p^2}^{alpha_2} X...X Z_{p^s}^{alpha_s}. A ZpZp^2...Zp^s-linear GH code is a generalized Hadamard code over Zp which is the Gray map image of a ZpZp^2...Zp^s-additive code. For p=2, we write Hadamard instead of GH in the definitions. We generalize some known results for Z_{2^s}-linear and Z2Z4-linear Hadamard codes to Z_{p^s}-linear GH codes with p>=3 prime and ZpZp^2...Zp^s-linear GH codes with p>=3 prime when s=2 and p=2 when s=3. We describe recursive constructions for some families of these codes of type (alpha_1, ..., alpha_s;t_1,..., t_s). It is shown for which types the corresponding ZpZp^2...Zp^s-linear GH codes of length p^t are nonlinear. For these codes, the rank and dimension of the kernel, which allow us to give a partial classification of these codes, are computed. In some cases, a complete classification can be provided, by giving the exact amount of nonequivalent such codes for a given length. The equivalence relations between several infinite families of these codes are studied. We give some families with infinite nonlinear ZpZp^2-linear GH codes which are not equivalent to any Z_{p^s}-linear GH code with s>=2. We also prove the existence of several families of infinite such nonlinear Z2Z4Z8-linear Hadamard codes, which are not equivalent to any other constructed Z2Z4Z8-linear Hadamard code, nor to any Z2Z4-linear Hadamard code, nor to any previously constructed Z_{2^s}-linear Hadamard code with s>=2, with the same length 2^t.