Tube formulas for valuations

Abstract

En aquest treball, explorem l'existència de fórmules tubulars per a valoracions en varietats Riemannianes. Concretament, calculem aquestes fórmules per a valoracions invariants en formes espacials reals, complexes i quaterniòniques. Introduïm l'operador tubular, tant per valoracions i com per mesures de curvatura, que dona el valor d'aquests funcionals sobre els tubs al voltant de subvarietats. En espais isotròpics, l'operador s'expressa en una forma simplificada. Per a les formes espacials complexes, derivem fórmules tubulars explícites. Aquest enfocament s'estén després a les formes espacials quaterniòniques, on ens centrem en les valoracions de Federer. Finalment, apliquem els nostres resultats per calcular el push-forward de valoracions mitjançant la fibració de Hopf quaterniònica.

En este trabajo, exploramos la existencia de fórmulas tubulares para valoraciones en variedades Riemannianas. Concretamente, calculamos estas fórmulas para valoraciones invariantes en formas espaciales reales, complejas y cuaterniónicas. Introducimos el operador tubular, tanto para valoraciones como para medidas de curvatura, que da el valor de estos funcionales sobre los tubos alrededor de subvariedades. En espacios isotrópicos, el operador se expresa en una forma simplificada. Para las formas espaciales complejas, derivamos fórmulas tubulares explícitas. Este enfoque se extiende luego a las formas espaciales cuaterniónicas, donde nos centramos en las valoraciones de Federer. Finalmente, aplicamos nuestros resultados para calcular el *push-forward* de valoraciones mediante la fibración de Hopf cuaterniónica.

In this work, we explore the existence of tubular formulas for valuations on Riemannian manifolds. Specifically, we calculate these formulas for invariant valuations in real, complex, and quaternionic space forms. We introduce the tubular operator, both for valuations and curvature measures, which gives the value of these functionals over the tubes around submanifolds. In isotropic spaces, the operator is expressed in a simplified form. For complex space forms, we derive explicit tubular formulas. This approach is then extended to quaternionic space forms, where we focus on Federer valuations. Finally, we apply our results to calculate the push-forward of valuations via the quaternionic Hopf fibration.