representations of the p-adic three-dimensional rotation group: towards p-adic quantum computing

Abstract

Aquesta tesi investiga la geometria, l'estructura i la teoria de la representació dels grups ortogonals especials p-àdics compactes, amb especial atenció al grau tres, SO(3)_p. A més de la seva importància matemàtica, es preveu que SO(3)_p i les seves representacions unitàries tinguin un paper central en el desenvolupament del moment angular i l'espín en la mecànica quàntica p-àdica. En particular, aquestes representacions de la dimensió dos proporcionen un model adequat de qubit p-àdic, en els fonaments d'una creixent teoria p-àdica de la informació i la computació quàntica. Per tant, proposem construir un processament d'informació quàntica utilitzant elements de les mateixes representacions de SO(3)_p que les portes de lògica quàntica.

L'estudi comença amb la classificació de les formes quadràtiques p-àdiques, segons la qual només existeixen grups ortogonals especials p-àdics compactes de grau dos, tres i quatre. Això produeix un grup únic SO(3)p de rotacions en Q_p^3, un grup únic de grau quatre, però diverses encarnacions del grup de rotacions al pla p-àdic. SO(3)_p mostra similituds amb el seu homòleg real, alhora que revela diferències a causa de les propietats teòriques dels nombres de Q_p, depenent del primer p. El primer parell p=2 presenta algunes peculiaritats, per tant, ocasionalment requereix un tractament separat i prudent. Tot el grup SO(3)_p admet una representació en termes dels "angles" de Cardano (també conegut com nàutic), però això només funciona per a determinades ordenacions del producte de rotacions al voltant dels eixos de referència, depenent del primer; a més, no hi ha una descomposició general d'Euler. Per a p=2, no existeix cap descomposició d'Euler o Cardano.

Expressem la mesura de Haar en SO(3)_p, així com en els altres grups ortogonals especials p-àdics compactes, utilitzant dos enfocaments: (1) una maquinària de límit invers de mesures de recompte, ja que aquests grups són profinis, i ( 2) una fórmula integral general per a la mesura de Haar sobre grups de Lie p-àdics, per ser explotada juntament amb les realitzacions de quaternions de rotacions p-àdiques. Això obre el camí per a l'anàlisi harmònic d'aquests grups, i específicament per a les seves representacions invocant el teorema de Peter-Weyl.

Com que totes les representacions unitàries projectives de dimensions finites de SO(3)_p es factoritzen en algun quocient mòdul p^k, k \in N, ens embarquem en el camí d'estudiar les representacions de SO(3)_p partint de les induïdes per SO. (3)_p mod pàg. En particular, trobem explícitament qubits p-àdics per a cada p primer. Abordem més el problema de Clebsch-Gordan i identifiquem estats entrellaçats per a sistemes compostos de dos qubits p-àdics. Finalment comencem a treballar en portes lògiques que operen en dos qubits, a partir de les conegudes representacions unitàries de quatre dimensions de SO(3)_p, amb l'objectiu final de proporcionar un conjunt universal de portes.

Esta disertación investiga la geometría, la estructura y la teoría de la representación de los grupos ortogonales especiales compactos p-ádicos, con especial atención al de grado tres, SO(3)_p. Además de su importancia matemática, se predice que SO(3)_p y sus representaciones unitarias desempeñarán un papel central en el desarrollo del momento angular y el espín en la mecánica cuántica p-ádica. En particular, esas representaciones de la dimensión dos proporcionan un modelo adecuado de qubit p-ádico, en la base de una floreciente teoría p-ádica de información y computación cuánticas. Por lo tanto, proponemos construir un procesamiento de información cuántica utilizando elementos de las mismas representaciones de SO(3)_p como puertas lógicas cuánticas.

El estudio comienza con la clasificación de las formas cuadráticas p-ádicas, según las cuales, los grupos ortogonales especiales p-ádicos compactos sólo existen de grado dos, tres y cuatro. Esto produce un grupo único SO(3)p de rotaciones en Q_p^3, un grupo único de grado cuatro, pero varias encarnaciones del grupo de rotaciones en el plano p-ádico. SO(3)_p muestra similitudes con su contraparte real, al mismo tiempo que revela diferencias debido a las propiedades de la teoría de números de Q_p, dependiendo del primo p. El primo par p=2 presenta algunas peculiaridades, por lo que en ocasiones requiere un tratamiento separado y cauteloso. Todo el grupo SO(3)_p admite una representación en términos de "ángulos" de Cardano (también conocidos como náuticos), sin embargo, esto funciona sólo para ciertos ordenamientos del producto de rotaciones alrededor de los ejes de referencia, dependiendo del número primo; además, no existe una descomposición general de Euler. Para p=2, no existe descomposición de Euler o Cardano.

Expresamos la medida de Haar en SO(3)_p, así como en los otros grupos ortogonales especiales p-ádicos compactos, empleando dos enfoques: (1) una maquinaria de límite inverso de medidas de conteo, ya que estos grupos son finitos, y (2) una fórmula integral general para la medida de Haar en grupos de Lie p-ádicos, que se explotará junto con las realizaciones de cuaterniones de rotaciones p-ádicas. Esto allana el camino para el análisis armónico de estos grupos, y específicamente para sus representaciones invocando el teorema de Peter-Weyl.

Dado que todas las representaciones unitarias proyectivas de dimensión finita de SO(3)_p se factorizan en algún cociente módulo p^k, k \in N, nos embarcamos en el camino de estudiar las representaciones de SO(3)_p a partir de las inducidas por SO (3)_p mod p. En particular, encontramos explícitamente qubits p-ádicos para cada p primo. Además, abordamos el problema de Clebsch-Gordan e identificamos estados entrelazados para sistemas compuestos de dos qubits p-ádicos. Finalmente comenzamos a trabajar en puertas lógicas que operan en dos qubits, a partir de las conocidas representaciones unitarias de cuatro dimensiones de SO(3)_p, con el objetivo final de proporcionar un conjunto universal de puertas.

This dissertation investigates geometry, structure and representation theory of the compact p-adic special orthogonal groups, with particular attention to that of degree three, SO(3)_p. In addition to its mathematical significance, SO(3)_p and its unitary representations are predicted to play a central role in the development of angular momentum and spin in p-adic quantum mechanics. In particular, those representations of dimension two provide a suitable model of p-adic qubit, at the foundations of a burgeoning p-adic theory of quantum information and computation. Thus, we propose to build quantum information processing using elements from the same representations of SO(3)_p as quantum logic gates.

The study begins with the classification of p-adic quadratic forms, according to which, compact p-adic special orthogonal groups exist only of degree two, three and four. This yields a unique group SO(3)p of rotations on Q_p^3, a unique group of degree four, but several incarnations of the group of rotations on the p-adic plane. SO(3)_p shows similarities with its real counterpart, while also revealing differences due to the number-theoretic properties of Q_p, depending on the prime p. The even prime p=2 exhibits some peculiarities, therefore it occasionally necessitates a separate and cautious treatment. The entire group SO(3)_p admits a representation in terms of Cardano (aka nautical) "angles", however, this works only for certain orderings of the product of rotations around the reference axes, depending on the prime; furthermore, there is no general Euler decomposition. For p=2, no Euler or Cardano decomposition exists.

We express the Haar measure on SO(3)_p, as well as on the other compact p-adic special orthogonal groups, employing two approaches: (1) an inverse-limit machinery of counting measures, since these groups are profinite, and (2) a general integral formula for the Haar measure on p-adic Lie groups, to be exploited together with the quaternion realisations of p-adic rotations. This paves the way for harmonic analysis on these groups, and specifically for their representations by invoking the Peter-Weyl theorem.

Since all the finite-dimensional projective unitary representations of SO(3)_p factorise on some quotient modulo p^k, k \in N, we embark on the path of studying the representations of SO(3)_p starting from those induced by SO(3)_p mod p. In particular, we explicitly find p-adic qubits for every prime p. We further address the Clebsch-Gordan problem and identify entangled states for composite systems of two p-adic qubits. We finally begin to work on logic gates operating on two qubits, from the known four-dimensional unitary representations of SO(3)_p, with the ultimate aim to provide a universal set of gates.