New techniques for verification and identification of quantum states and processes

Abstract

Aquesta tesi estudia la verificació de sistemes quàntics en escenaris on l’accés a informació crucial és limitat. Mentre que en el control de qualitat clàssic els defectes poden, en principi, detectar-se de manera determinista, la naturalesa probabilística de la mecànica quàntica imposa limitacions inherents. Aquest fet planteja la pregunta: fins a quin punt és possible identificar de manera fiable defectes en estats i processos quàntics? Per respondre aquesta pregunta s’estudia la discriminació d’estats i canals quàntics en contextos universals, és a dir, quan no es coneix la forma específica de les hipòtesis. L’objectiu és establir rendiments de referència i dissenyar protocols òptims que continuïn sent vàlids sota condicions d’ignorància parcial.

La manera d’abordar l’objectiu és mitjançant la combinació d’eines d’optimització convexa amb mètodes de teoria de representacions. La programació semidefinida ofereix el marc per formular els problemes de discriminació com a problemes d’optimització sobre operadors. Per la seva banda, la dualitat de Schur–Weyl i els esquemes d’associació permeten captar la simetria dels problemes estudiats, així com reduir de manera significativa la seva complexitat. Més enllà de la discriminació d’estats, l’isomorfisme de Choi–Jamiołkowski i el formalisme de xarxes quàntiques estenen aquestes tècniques a l’anàlisi de canals quàntics.

La primera contribució se centra en el problema anomenat edge detection. Una seqüència de sistemes es divideix en dos dominis, cadascun preparat en un estat desconegut però diferent, i l’objectiu consisteix a identificar la frontera que els separa. Es presenta un protocol òptim per a aquest problema, juntament amb un càlcul eficient de la seva probabilitat d’èxit basat en la dualitat de Schur–Weyl i el formalisme de matrius de Gram. A més, s’explora un escenari mixt, en què els estats passen de ser coneguts a desconeguts, cosa que pot resultar útil per detectar defectes en processos de producció d’estats quàntics.

La segona contribució introdueix la detecció quàntica d’anomalies múltiples, en què un conjunt de fonts ha de produir un estat de referència, encara que algunes poden fallar i generar estats anòmals. Es consideren dos casos. En el primer, tant l’estat de referència com els estats anòmals són coneguts; aquest problema es resol analíticament aprofitant l’estructura algebraica dels esquemes d’associació de Johnson, la qual cosa permet obtenir estratègies òptimes tant en el règim d’error mínim com en el d’identificació sense error (inequívoca). En el segon cas, ambdues classes d’estats són desconegudes, i es desenvolupa un protocol universal la optimalitat del qual s’estableix a través de la dualitat de Schur–Weyl.

Finalment, la tercera contribució estén la detecció d’anomalies a l’àmbit dels canals quàntics. S’assumeix que els dispositius implementen una operació unitària donada, encara que un subconjunt d’aquests aplica en el seu lloc unitàries desconegudes. Es deriven protocols òptims sense error per identificar aquests dispositius defectuosos, emprant l’isomorfisme de Choi–Jamiołkowski i el formalisme de xarxes quàntiques. L’anàlisi mitjançant teoria de representació i la dualitat mixta de Schur–Weyl demostra que el rendiment òptim pot assolir-se amb estats d’entrada entrellaçats, sistemes auxiliars i estratègies paral·leles.

Esta tesis aborda la verificación de sistemas cuánticos en escenarios donde el acceso a información crucial es limitado. Mientras que en el control de calidad clásico los defectos pueden, en principio, detectarse de manera determinista, la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica impone limitaciones inherentes. Este hecho plantea la pregunta: ¿hasta qué punto es posible identificar de forma fiable defectos en estados y procesos cuánticos? Para responder a esta pregunta se estudia la discriminación de estados y canales cuánticos en contextos universales, es decir, cuando no se conoce la forma específica de las hipótesis. El objetivo es establecer rendimientos de referencia y diseñar protocolos óptimos que sigan siendo válidos bajo condiciones de ignorancia parcial.

La manera de abordar el objetivo es mediante la combinación de herramientas de optimización convexa con métodos de teoría de representaciones. La programación semidefinida ofrece el marco para formular los problemas de discriminación como problemas de optimización sobre operadores. Por su parte, la dualidad de Schur–Weyl y los esquemas de asociación permiten capturar la simetría de los problemas estudiados, así como reducir de manera significativa su complejidad. Más allá de la discriminación de estados, el isomorfismo de Choi–Jamiołkowski y el formalismo de redes cuánticas extienden estas técnicas al análisis de canales cuánticos.

La primera contribución se centra en el problema denominado edge detection. Una secuencia de sistemas se divide en dos dominios, cada uno preparado en un estado desconocido pero distinto, y el objetivo consiste en identificar la frontera que los separa. Se presenta un protocolo óptimo para este problema, junto con un cálculo eficiente de su probabilidad de éxito basado en la dualidad de Schur–Weyl y el formalismo de matrices de Gram. Además, se explora un escenario mixto, en el que los estados pasan de ser conocidos a desconocidos, lo que puede resultar útil para detectar fallos en procesos de producción de estados cuánticos.

La segunda contribución introduce la detección cuántica de anomalías múltiples, en la que un conjunto de fuentes debe producir un estado de referencia, aunque algunas pueden fallar y generar estados anómalos. Se consideran dos casos: en el primero, tanto el estado de referencia como los estados anómalos son conocidos; este problema se resuelve analíticamente aprovechando la estructura algebraica de los esquemas de asociación de Johnson, lo que permite obtener estrategias óptimas tanto en el régimen de error mínimo como en el de identificación sin error (inequívoca). En el segundo caso, ambas clases de estados son desconocidas, y se desarrolla un protocolo universal cuya caracterización como óptimo se establece a través de la dualidad de Schur–Weyl.

Finalmente, la tercera contribución extiende la detección de anomalías al ámbito de los canales cuánticos. Se asume que los dispositivos implementan una operación unitaria dada, aunque un subconjunto de ellos aplica en su lugar unitarias desconocidas. Se derivan protocolos óptimos sin error para identificar estos dispositivos defectuosos, empleando el isomorfismo de Choi–Jamiołkowski y el formalismo de redes cuánticas. El análisis mediante teoría de representaciones y la dualidad mixta de Schur–Weyl demuestra que el rendimiento óptimo puede alcanzarse con estados de entrada entrelazados, sistemas auxiliares y estrategias paralelas.

This thesis investigates the verification of quantum systems in scenarios where access to crucial information is limited. While in classical quality control, faults can, in principle, be detected deterministically, the probabilistic nature of quantum mechanics imposes inherent limitations. This raises the question of how reliably faults in quantum states and processes can be identified. The challenge is addressed through the study of quantum state and channel discrimination in universal settings, where the specific form of the hypotheses is not known. The objective is to establish benchmarks of performance and to construct optimal protocols that are valid under partial ignorance.

The approach combines convex optimization with representation theory methods. Semidefinite programming provides the framework for formulating discrimination tasks as operator optimization problems. Schur–Weyl duality and association schemes capture the symmetric structure of the tasks studied and reduce their complexity. Beyond state discrimination, the Choi–Jamiołkowski isomorphism and quantum network formalism extend these techniques to the analysis of quantum channels.

The first contribution concerns the problem termed as edge detection. A sequence of systems is divided into two domains, each prepared in an unknown but distinct state, and the goal is to identify the boundary separating them. The optimal protocol for this task is derived, and its success probability is efficiently computed through Schur–Weyl duality and the Gram matrix formalism. A mixed scenario, where the states transition from known to unknown, is also explored, which may find applications in detecting malfunctions in quantum-state production processes.

The second contribution introduces quantum multi-anomaly detection, where a set of sources are intended to produce a reference state, but some may malfunction and produce anomalous states instead. Two cases are studied. In the first, both the reference and anomalous states are known. This problem is studied analytically by using the algebraic structure of Johnson association schemes, yielding optimal minimum-error and unambiguous strategies. In the second, both classes of states are unknown, and a universal protocol is developed whose optimality is established through Schur–Weyl duality methods.

The final contribution extends anomaly detection to quantum channels. Devices are expected to implement a given unitary operation, but a subset of them instead applies unknown unitaries. I derive optimal zero-error protocols for identifying such faulty devices using the Choi–Jamiołkowski isomorphism and quantum network formalism. A representation-theoretic analysis of mixed Schur–Weyl duality shows that entangled input states with ancillary probes and parallel strategies suffice to achieve optimal performance.