Espacios de medidas vectoriales

Abstract

Los preliminares sobre funciones, operadores y medidas se centran en exhibir la integral de Bochner como herramienta para definir los espacios de funciones de Lebesgue-Bochner, de operadores de Dinculeanu, p-sumantes y p-sumantes positivos, o la de los operadores cono absolutamente sumantes. La dualidad de los espacios de Lebesgue-Bochner se resuelve dando entrada a las medidas vectoriales y a los conceptos de p-variación y p-semivariación. La propiedad de Radon-Nikodým guarda equivalencia con el teorema de Riesz en contexto también vectorial. La noción de tipo y cotipo de Rademacher se introduce para resolver en la parte final de la memoria el cálculo de estos valores para una familia de espacios de funciones vectoriales. Los espacios de funciones de Banach son los verdaderos protagonistas de la memoria, pues van a parametrizar la gran familia de espacios de medidas vectoriales. Los espacios invariantes por reordenamiento proporcionan un contexto apropiado en el que detenerse. Los espacios de funciones vectoriales de Banach, también llamados espacios de Köthe-Bochner, serán protagonistas como dominios de los operadores lineales y continuos que vienen representados por las medidas vectoriales objeto de nuestro estudio.<br/><br/>En el capítulo segundo se introduce el concepto de E-variación, donde E representa el espacio de funciones de Banach, y se define el espacio de medidas de E-variación finita. La E-semivariación que se define a continuación consiste en la traslación al campo de las medidas de la situación de los operadores lineales y continuos con dominio en un espacio de funciones de Banach. El espacio de medidas VE(X) representa al de los operadores lineales y continuos con ciertas limitaciones. Aparecen de manera sistemática la nueva clase de Dinculeanu y la clásica de los operadores cono absolutamente sumantes y se obtiene una nueva caracterización de la propiedad de Radon-Nikodým para E con norma absolutamente continua. La abstracción máxima se tiene al considerar la E[X; Y;Z]-semivariación, pues engloba todos los casos previos. <br/><br/>Si se restringe la familia de espacios de funciones de Banach a aquellos que satisfacen la propiedad (J) se comprueba la expresión equivalente de la E-variación definida por Gretsky y Uhl. La (E;&#8734;)-variación viene motivada de forma similar a la que define a los espacios de Lebesgue, así se recuperan los espacios de medidas de M(E)-variación acotada. Como aplicación del desarrollo de la teoría a los espacios invariantes por reordenamiento se presenta la familia de los espacios de medidas vectoriales de Lorentz Vpq(X). Otros espacios de medidas vectoriales que se ajustan a este apartado son los de Orlicz. Los corolarios que se enumeran son ya conocidos y aparecen en las referencias citadas.<br/><br/>En el capítulo cuarto se presenta la familia de espacios de Musielak-Orlicz (también llamados de Orlicz generalizados, parametrizados por una función M). Por contener como casos concretos a todos los espacios de Lebesgue y Orlicz, y por tener miembros que no satisfacen la propiedad (J), estos espacios representan, en cierto modo, los límites de la E-variación que se definía en el capítulo anterior. La teoría obtenida hasta entonces es aplicable a parte de la familia de espacios de Musielak-Orlicz. Se destaca un espacio concreto para comprobar cómo la hipótesis de la propiedad (J) es imprescindible en una definición de E-variación como la de Gretsky y Uhl. El ejemplo utilizado es un espacio de la clase de espacios de Nakano (con función M de tipo potencial). Se finaliza esta memoria caracterizando el tipo y el cotipo de Rademacher para los espacios de sucesiones de Nakano vectoriales afinando resultados previos.

Preliminary chapter is focused on function, operator and measure spaces. Duality and Radon-Nikodým property are examined in Lebesgue-Bochner function spaces. Banach funciton spaces are the true main characters of this memoir, within which rearrangement invariant spaces deserve special attention. Vector-valued Banach function spaces, also called Köthe-Bochner spaces, play an important role in the last step.<br/><br/>The concepts of E-variation and E-semivariation are introduced in chapter 2, where E is a Banach function space. They are used to help representing the space of continuous linear operatos under some limitations. A new characterization of Radon-Nikodým property is shown for spaces E with absolute coninuous norm.<br/> <br/>When restricting to spaces satisfying property (J) it is shown that the E-variation coincides with the one given by Gretsky and Uhl. Measure spaces related to Lorentz and Orlicz spaces are defined and studied.<br/><br/>In chapter four, Musielak-Orlicz function spaces (also called generalized Orlicz spaces, parametrized by a function M). One space in this family is used to prove that property (J) is essential in variation by Gretsky and Uhl. Nakano sequence spaces (with potential function M) are investigated through the study of their Rademacher type and cotype.