Coneixements i creences sobre la resolució de problemes dels professors i estudiants de professor d’educació primària i secundària: Un estudi sobre la continuïtat en l’ensenyament de les matemàtiques

Abstract

És una creença generalitzada del professorat –i avalada també per les investigacions actuals– que tant la relació de l’alumnat amb la matemàtica com l’evolució de la seva competència en aquesta matèria canvien en general de forma negativa al llarg de l’escolarització. Aquest aspecte justifica la necessitat d’investigar la pràctica docent des del punt de vista de la transició, i analitzar fins a quin punt factors com els coneixements del professor de matemàtiques, les seves creences, o els objectius que persegueix amb el seu ensenyament poden afectar a l’aprenentatge present i futur dels alumnes. D’altra banda, la resolució de problemes constitueix un dels eixos principals en l’ensenyament de les matemàtiques, i des del punt de vista de la transició, entenem que aquesta pot ser una de les eines que ajudin a donar sentit a les matemàtiques. Aquesta tesi doctoral té com a objectiu caracteritzar i comparar les creences i coneixements de professors i estudiants de professor de matemàtiques de primària i secundària sobre la resolució de problemes i establir possibles relacions entre creences i coneixements, ja que considerem que aquests factors poden tenir un impacte en l’aprenentatge matemàtic de l’alumne durant la transició entre les etapes d’educació primària i secundària. Partint dels estudis de Ball sobre el Mathematical Knowledge for Teaching, s’ha adaptat el marc teòric de l'estudi TEDS-M 2008 (que s'adequa molt a aquest treball) i, en base a aquest marc, s’ha realitzat un estudi amb quatre mostres –estudiants de professor de secundària, professors de secundària, estudiants de professor de primària i professors de primària–. A cada mostra s’ha subministrat dos instruments de recollida de dades: un qüestionari (determinació de creences) i un protocol (determinació de coneixements) sobre resolució de problemes. En el cas de l’estudi dels coneixements, s’ha optat només per un tipus de problemes (de nombres), ja que considerar la resolució de problemes globalment fa massa ampli el tema dels coneixements. S’ha dut a terme una anàlisi mixta quantitativa-qualitativa: primer del global de la mostra, i després d’individus concrets. L’anàlisi de les dades del conjunt de les mostres consta de dues fases diferenciades: la primera, amb l’objectiu de donar una visió general dels resultats, és de caire essencialment quantitatiu, mentre que la segona, de caire més qualitatiu, ens permet realitzar una mirada específica a les dades que més ens interessen. En relació als resultats obtinguts amb aquesta anàlisi s’han plantejat les relacions existents entre coneixements i creences sobre resolució de problemes. Finalment, s’ha realitzat un estudi més aprofundit de casos reals: s’ha determinat un prototipus de cada mostra (entenent prototipus com aquell subjecte real que més s’acosta a la mitjana de cada mostra), i per a cadascun d’ells s’han descrit les característiques del conjunt de les seves respostes i s’han comparat entre sí. L’anàlisi realitzada ens ha permès, d’una banda, constatar que hi ha diferències rellevants en les creences i els coneixements de les quatre mostres, i de l’altra, establir relacions entre les creences i els coneixements sobre resolució de problemes. Destaca el fet que un dels nostres resultats coincideix amb els resultat obtinguts en el TEDS-M: un nivell de coneixements alt és més probable que estigui associat a creences properes a pensar matemàticament en el marc de la resolució de problemes, i menys probable que estigui associat a creences properes a sistemes de creences definits per característiques de rigidesa, reducció a l’instrumentalisme o tradició conductista de l’aprenentatge.

Es una creencia generalizada del profesorado –y avalada también por las investigaciones actuales– que tanto la relación del alumnado con la matemática como la evolución de su competencia en esta materia cambian en general de forma negativa a lo largo de la escolarización. Este aspecto justifica la necesidad de investigar la práctica docente desde el punto de vista de la transición, y analizar hasta qué punto factores como los conocimientos del profesor de matemáticas, sus creencias, o los objetivos que persigue con su enseñanza pueden afectar al aprendizaje presente y futuro de los alumnos. Por otro lado, la resolución de problemas constituye uno de los ejes principales en la enseñanza de las matemáticas, y desde el punto de vista de la transición, entendemos que ésta puede ser una de las herramientas que ayuden a dar sentido a las matemáticas. Esta tesis doctoral tiene como objetivo caracterizar y comparar las creencias y conocimientos de profesores y estudiantes de profesor de matemáticas de primaria y secundaria sobre la resolución de problemas y establecer posibles relaciones entre creencias y conocimientos, ya que consideramos que estos factores pueden tener un impacto en el aprendizaje matemático del alumno durante la transición entre las etapas de educación primaria y secundaria. Partiendo de los estudios de Ball sobre el Mathematical Knowledge for Teaching, se ha adaptado el marco teórico del estudio TEDS-M 2008 (que se adecua mucho a este trabajo) y, en base a este marco, se ha realizado un estudio con cuatro muestras –estudiantes de profesor de secundaria, profesores de secundaria, estudiantes de profesor de primaria y profesores de primaria–. A cada muestra se le han subministrado dos instrumentos de recogida de datos: un cuestionario (determinación de creencias) y un protocolo (determinación de conocimientos) sobre resolución de problemas. En el caso del estudio de los conocimientos, se ha optado solamente por un tipo de problemas (de números), ya que considerar la resolución de problemas globalmente hace demasiado amplio el tema de los conocimientos. Se ha llevado a cabo un análisis mixto cuantitativo-cualitativo: primero del global de la muestra, y después de individuos concretos. El análisis de los datos del conjunto de las muestras consta de dos fases diferenciadas: la primera, con el objetivo de dar una visión general de los resultados, es de carácter esencialmente cuantitativo, mientras que la segunda, de carácter más cualitativo, nos permite realizar una mirada específica a los datos que más nos interesan. En relación a los resultados obtenidos con este análisis se han planteado las relaciones existentes entre conocimientos y creencias sobre resolución de problemas. Finalmente, se ha realizado un estudio más profundo de casos reales: se ha determinado un prototipo de cada muestra (entendiendo prototipo como aquel sujeto real que más se acerca a la media de cada muestra), y para cada uno de ellos se han descrito las características del conjunto de sus respuestas y se han comparado entre sí. El análisis realizado nos ha permitido, por un lado, constatar que hay diferencias relevantes en las creencias y los conocimientos de las cuatro muestras, y por otro, establecer relaciones entre las creencias y los conocimientos sobre resolución de problemas. Destaca el hecho de que uno de nuestros resultados coincide con los resultados obtenidos en el TEDS-M: un nivel de conocimientos alto es más probable que esté asociado a creencias cercanas a pensar matemáticamente en el marco de la resolución de problemas, y menos probable que esté asociado a creencias cercanas a sistemas de creencias definidos por características de rigidez, reducción al instrumentalismo o tradición conductista del aprendizaje.

It is widely accepted among teachers, and also supported by current research, that both the relationship of students with mathematics as well as the evolution of the student’s competence in this area changes negatively throughout schooling. This fact justifies the need to investigate the teaching practice from the perspective of the transition, and to analyze to which extent some factors such as the teacher's mathematic knowledge, their beliefs, or the aims of his teaching may affect the present and future students’ learning capabilities. On the other hand, problem solving is one of the core aspects of mathematics’ teaching, and from the point of view of the transition, it is accepted that this may be one of the key tools to help make sense of mathematics. This PhD thesis aims to characterize and compare the beliefs and knowledge about problem solving of pre-service and in-service teachers of mathematics, both at primary and secondary school level, and to establish possible relationships between beliefs and knowledge, since it is considered that these factors may have an impact on student's mathematical learning during the transition between the stages of primary and secondary education. Based on the studies of Ball on Mathematical Knowledge for Teaching, the theoretical framework of the study TEDS-M 2008 (which fits much of this work) was adapted and, based on this framework, a study was performed with four samples –secondary school pre-service teachers, secondary school in-service teachers, primary school pre-service teachers, primary school in-service teachers–. To each sample, two collecting data instruments were provided: a questionnaire (determination of beliefs) and a protocol (determination of knowledge) on problem solving. For the knowledge study, it was decided to provide only with one type of problems (numbers based) since the problem solving makes too broad the subject of knowledge. A mixed quantitative-qualitative analysis was conducted: first from the overall sample and then from specific individuals. The data analysis of all samples consists of two differentiated phases: the first one, aiming to provide an overview of the results, is essentially quantitative, while the second one, more qualitative, allows for a specific interpretation of the data of interest. Based on the results obtained, the relationships between knowledge and beliefs about problem solving were established. Finally, an in detail-study of real scenarios was performed. To do so, a prototype was determined for each sample (defining prototype as a real subject that is closer to the mean of each sample), and for each of them the characteristics of their responses were described and compared with each other. The analysis performed has enable to confirm that there are significant differences among the beliefs and knowledge of the four samples investigated, and secondly, to establish relationships between beliefs and knowledge about problem solving. It is remarkable that one of the results described herein strongly agrees with the results obtained in the TEDS-M study. Briefly, a high level of knowledge is more likely to be associated with thinking mathematically in the context of problem solving, and less likely to be associated with beliefs close to systems defined by characteristics of rigidity, reduced to instrumentalism or behaviorist learning tradition.