Qualitative properties of stationary states of some nonlocal interaction equations

Abstract

En aquesta tesi estudiem l'estabilitat d'estats estacionaris d'alguns models d'interacció, de fragmentació i de comportament de col·lectius. Tots aquests models comparteixen la propietat de no localitat i l'existència d'un funcional de Lyapunov. En el cas de les equacions d'interacció i dels models de col·lectius que considerem, hi ha en comú el terme no local ∇𝑊��∗𝜌��, on 𝑊�� és potencial d'interacció, i 𝜌�� la densitat de partícules en espai. El cas de les equacions de fragmentació és una mica diferent: són equacions integro-diferencials amb un terme no local donat per l'operador de fragmentació, una integral d'un nucli contra la densitat de partícules. Comencem amb una introducció a l'equació d'agregació amb potencial d'interacció repulsor-atractor i radial. Deduïm alguns resultats d'existència i convergència cap a estats estacionaris en forma de capes esfèriques. Busquem mínims de l'energia del funcional de Lyapunov per tal de trobar estats estacionaris per l'equació, i estudiem la in/estabilitat d'aquests estats estacionaris en particular. Propietats de confinament sobre les equacions d'agregació són estudiades en el Capítol 3. Demostrem que les solucions són de suport compacte i estan ficades en una bola grossa fixada per a tot temps. Continuem la recerca en les equacions d'agregació en el Capítol 4, on s'estudia la dimensió dels mínims locals pel funcional de l'energia d'interacció. Un altre problema que estudiem és el comportament asimptòtic de les equacions de creixement-fragmentació. Al Capítol 5 donarem estimacions sobre els perfils asimptòtics i provarem una desigualtat de forat espectral. Aquests models no són un flux gradient respecte del funcional de l'energia. Tanmateix, es pot trobar un funcional de Lyapunov que utilitzarem per a demostrar convergència exponencialment ràpida de les solucions cap als perfils asimptòtics demostrant una desigualtat d'entropia - dissipació d'entropia. Aquesta tècnica ens dóna estabilitat dels estats estacionaris demostrant convergència cap a mínims locals i, a més, ens permet estimar la ràtio de la convergència cap a l'equilibri. Acabem aquesta tesi amb els resultats del Capítol 6, on estudiem dos models de segon ordre de partícules pel comportament de col·lectius. Ens referim a aquests sistemes com a models basats en individus (IBMs), que és el llenguatge comú que s'utilitza per aquest tipus de models. Demostrem l'estabilitat de dues solucions particulars: la manada en forma d'anell i la rotació en forma d'anell. Relacionarem l'estabilitat d'aquestes solucions per aquests dos models de segon ordre amb l'estabilitat dels anells del model de primer ordre, la versió discreta de l'equació d'agregació del Capítol 2.

In this dissertation, we study the stability of stationary states for some interaction equations and for fragmentation and swarming models. All these models share the common property of nonlocality and the existence of a Lyapunov functional. In the case of the interaction equations and the models for swarming that we consider, they have in common the nonlocal interaction term ∇𝑊�∗𝜌� where 𝑊� is the interaction potential, and 𝜌� the density of particles in space. The case of the fragmentation equations is a bit different: they are integro-differential equations, with the nonlocal term given by the fragmentation operator, an integral of a kernel against the density of particles. We start with an introduction to aggregation equations, with repulsive-attractive radial interaction potential. We derive some existence results and convergence to spherical shell stationary states. We look for local minimizers of the interaction Lyapunov functional in order to find stable stationary states of the equation. We study radial ins/stability of these particular stationary states. For these aggregation models we will make use of the gradient flow structure that they have. Confinement properties of solutions of aggregation equations under certain conditions on the interaction potential are studied in Chapter 3. We show that solutions remain compactly supported in a large fixed ball for all times. We continue our research in aggregation equations in Chapter 4, where we characterize the dimensionality of local minimizers of the interaction energy. Another problem that we study is the asymptotic behavior of growth-fragmentation models. In Chapter 5, we give estimates on asymptotic profiles and a spectral gap inequality for growth-fragmentation equations. These models are not a gradient flow of a particular energy functional. However, they have a Lyapunov functional that we use to prove exponentially fast convergence of solutions to the asymptotic profiles by showing an entropy - entropy dissipation inequality. This technique gives us stability of the stationary states proving convergence to the local minimizers and it allows for estimates on the rate of convergence to equilibrium. We finish this thesis with the results in Chapter 6, where we study two second order particle systems for swarming. We refer to these systems as individual based models (IBMs), which is the common language used in swarming. We prove the stability of two particular solutions: flock rings and mill rings. We relate the stability of these ring solutions of the second order models with the stability of the rings of a first order model, the discrete version of the aggregation equation of Chapter 2.