Continuous fields of c-algebras, their cuntz semigroup and the geometry of dimension fuctions

Abstract

Aquesta tesi doctoral tracta sobre C*-àlgebres i els seus invariants de Teoria K. Ens hem centrat principalment en l’estructura d’una classe de C*-àlgebres anomenada camps continus i l’estudi d’un dels seus invariants: el semigrup de Cuntz. Més concretament, analitzem el següent: (1)- Estructura dels camps continus : A la literatura hi ha dos exemples que donen una idea clara sobre la complexitat dels camps continus de C*-àlgebres. El primer va ser construït per M. Dadarlat i G. A. Elliott al 2007 i és un camp continu A sobre l’interval unitat amb fibres mútuament isomorfes, Teoria K no finitament generada i que no és localment trivial enlloc. El segon exemple mostra que, fins i tot quan la Teoria K de les fibres s’anul·la, el camp pot ser no trivial enlloc si l’espai base té dimensió infinita (Dadarlat, 2009). Veient aquests exemples és natural preguntar-se quina és l’estructura dels camps continus d’àlgebres de Kirchberg sobre un espai de dimensió finita, amb fibres mútuament isomorfes i Teoria K finitament generada. Tractem aquesta qüestió al Capítol 2 de la memòria. (2)- El semigrup de Cuntz de camps continus : Per a C*-àlgebres de dimensió baixa sense obstruccions cohomològiques, una descripció del seu semigrup de Cuntz, a través d’avaluació puntual, s’ha obtingut en termes de funcions semicontínues sobre l’expectre que prenen valors en els enters positius estesos (Robert, 2009). Per camps més generals la clau està en descriure l’aplicació següent: _: Cu(A) ! Q x2X Cu(Ax) donada per _hai = (ha(x)i)x2X; on Cu(Ax) és el semigrup de Cuntz de la fibra Ax. En el Capítol 3 de la memòria, l’aplicació _ s’estudia en el cas que X tingui dimensió petita i totes les fibres de la C(X)-àlgebra A no són necessàriament isomorfes entre sí. Més concretament, demostrem que és possible recuperar el semigrup de Cuntz d’una classe adequada de camps continus com el semigrup de seccions globals de tx2XCu(Ax) a X. Això s’utilitza posteriorment per reescriure un resultat de classificació degut a Dadarlat, Elliott i Niu (2012) utilitzant un sol invariant en comptes d’un feix de grups. (3)-Funcions de dimensió en una C*-algebra : L’estudi de funcions de dimensió va ser iniciat per Cuntz a 1978, i desenvolupat posteriorment per Blackadar i Handelman al 1982. En el seu article van aparèixer dues preguntes naturals: decidir si l’espai afí de funcions de dimensió és un símplex, i si també el conjunt de funcions de dimensió semicontínues inferiorment és dens a l’espai de totes les funcions de dimensió. En el Capítol 4 calculem el rang estable d’algunes classes de camps continus i això ens ajuda a provar que les dues conjectures anteriors tenen resposta afirmativa per camps continus A sobre espais de dimensió 1 i amb hipòtesis febles en les seves fibres.

This thesis deals with C*-algebras and their K-theoretical invariants. We have mainly focused on the structure of a class of C*-algebras called continuous fields, and the study of one of its invariants, the Cuntz semigroup. More concretely, we analyse the following: (1)-Structure of Continuous Fields of C*-algebras : In the literature there are two examples which clearly give an idea about the complexity of continuous field C*-algebras. The first one was constructed by M. Dadarlat and G. A. Elliott in 2007, and it is a continuous field C*- algebra A over the unit interval with mutually isomorphic fibers, with non-finitely generated K-theory and such that it is nowhere locally trivial. The second example shows that, even if the K-theory of the fibers vanish, the field can be nowhere locally trivial if the base space is infinite-dimensional (Dadarlat, 2009). From the above examples, it is natural to ask which is the structure of continuous fields of Kirchberg algebras over a finite-dimensional space with mutually isomorphic fibers and finitely generated K-theory. This question has been adressed in Chapter 2 of the memoir. (2)-The Cuntz semigroup of continuous field C*-algebras : For commutative C*-algebras of lower dimension where there are no cohomological obstructions, a description of their Cuntz semigroup via point evaluation has been obtained in terms of (extended) integer valued lower semicontinuous functions on their spectrum (Robert, 2009). For more general continuous fields, the key is to describe the map : Cu(A) ! Q x2X Cu(Ax) given by hai = (ha(x)i)x2X; where Cu(Ax) is the Cuntz semigroup of the fiber Ax. In Chapter 3 of the memoir, the map is studied in the case when X has low dimension and all the fibers of the C(X)-algebra A are not necessarily mutually isomorphic. Concretely, we prove that it is possible to recover the Cuntz semigroup of a suitable class of continuous fields as the semigroup of global sections of tx2XCu(Ax) to X. This is further used to rephrase a classification result by Dadarlat, Elliott and Niu (2012) by using a single invariant instead of a sheaf of groups. (3)-Dimension Functions on a C*-algebra : The study of dimension functions on C -algebras was started by Cuntz in 1978, and further developed by B. Blackadar and D. Handelman in 1982. In the latter article, two natural questions arised: to decide whether the affine space of dimension functions is a simplex, and also whether the set of lower semicontinuous dimension functions is dense in the space of all dimension functions. In Chapter 4 we compute the stable rank of some class of continuous field C*-algebras, which helps us to move on to show that the above two conjectures have affirmative answers for continuous fields A over one-dimensional spaces and with mild assumptions on their fibers.