Complexity in Slowly-Driven Interaction-Dominated Threshold Systems: the Case of Rainfall

Abstract

Molts processos geofísics presenten comportament emergent. Aquest sovint es manifesta com a regularitats estadístiques de gran escala com les distribucions de lleis de potències de certs observables dels corresponents sistemes. En aquesta tesi investiguem l’aparició d' aquestes regularitats, desenvolupant tècniques estadístiques per fer estimacions acurades dels paràmetres de les distribucions de lleis de potencies. El nostre mètode proporciona un criteri objectiu per escollir el domini on la distribució segueix una llei de potencies. L' apliquem per investigar temps de vida mitja d’elements radioactius, el moment sísmic de terratrèmols, l’energia dels ciclons tropicals, els incendis forestals, i els temps d’espera entre terratrèmols. En el cas de la pluja també s'han observat, per mesures a latituds mitjanes, lleis de potències per les mides dels esdeveniments. En aquest estudi, apliquem el mètode per investigar si aquestes observacions es poden reproduir per dades de diversos climes diferents. Els resultats són positius i constitueixen un indici més de què la convecció atmosfèrica i les precipitacions podrien ser un exemple, al món real, de la Criticalitat Auto-Organitzada (Self-Organised Criticality o SOC en anglès; un mecanisme que explica l'aparició de lleis de potències a la natura). També fem un anàlisi d'escala per tal d’observar el col·lapse de les distribucions. Tanmateix, el mètode no serveix per comprovar la presència d’universalitat, que és quelcom que s'espera observar en un sistema SOC. Per tant, hem desenvolupat un mètode basat en un test de permutació per tal de determinar si els exponents estimats són estadísticament compatibles. El nostre test permutacional alternatiu dóna resultats clars: tot i el fet que les diferències entre els exponents són més aviat petites, la presència d’universalitat queda descartada. El fet que la hipòtesi d’universalitat quedi rebutjada en aquests tests, no implica però que s’hagi de descartar l’existència d’un mecanisme universal per la convecció atmosfèrica, ja que les dades recol·lectades podrien presentar errors sistemàtics no controlats. Finalment, estudiem les conseqüències dels resultats anteriors en la predicció de fenòmens atmosfèrics. Analitzem l'efecte de posar llindars d'observació en models SOC i dades de pluja. La predictibilitat de fenòmens extrems i intensitats extremes s’estudia mitjançant una variable de decisió sensible a la tendència a formar “clusters” o a repel·lir-se dels esdeveniments. Avaluem la qualitat d'aquestes prediccions mitjançant el mètode anomenat Característica Operativa del Receptor. En l’escala d’esdeveniments (gran escala), els temps entre esdeveniments de pluja renormalitzen a un procés de puntual trivial, i llavors la predictibilitat decreix quan el llindar creix. El mateix comportament s'observa per series temporals de models SOC en els quals s'ha aplicat un llindar de detecció d'intensitats, però s'observa el comportament contrari quan aquest no s'aplica. En l'escala de les intensitats (curta escala), la predicció no es veu afectada pel llindar, donat que els processos roman gairebé inalterat (així també els exponents crítics corresponents) fins que llindars significativament elevats s’assoleixen.

Many geophysical phenomena present emergent behaviour, which manifested as large-scale statistical regularities such as power-law distributions for the coarse-grained observables of the corresponding systems. In this thesis we investigate the appearance of power-law distributions in geophysical phenomena. We develop a statistical technique for making accurate estimations of the parameters of power-law distributions. The method introduced, which gives an objective criteria to decide the power-law domain of the distribution, is applied to investigate the half-lives of radioactive elements, the seismic moment of earthquakes, the energy of tropical cyclones, the area burnt in forest fires and the waiting time between earthquakes.

In addition, the method is applied for investigating the reproducibility of the observation of scale-free rain event avalanche distributions using data across diverse climates and for looking for signs of universality in the associated fitted exponents. Scaling techniques are also applied in order to see the collapse of the distributions. This study contributes to a recent array of statistical measures that give support to the hypothesis that atmospheric convection and precipitation may be a real-world example of Self-Organised Criticality (SOC, a mechanism able to reproduce the observed power laws). Another expectation of the SOC paradigm is universality, but the fitting method is not enough for checking this hypothesis. Therefore, a method based on a permutation test is developed in order to determine if the estimated exponents are statistically compatible. Our alternative permutational tests give clear results: despite the fact that the differences between the exponents are rather small, the universality hypothesis is rejected. However, the fact that the universality hypothesis is rejected in the tests does not mean that one has to rule out the existence of a universal mechanism for atmospheric convection, as uncontrolled systematic errors can be present in the collection of data.

Finally, we study the consequences of the previous results for the prediction of atmospheric phenomena by analysing the effect of applying thresholds on SOC models and rainfall time series. The predictability of extreme events and extreme intensities is studied by means of a decision variable sensitive to the tendency to cluster or repulse between them and the quality of the predictions is evaluated by the receiver operating characteristics method. On the events scale (large scale), times between events for rainfall data and models renormalise to a trivial point process, and then the predictability decreases when the threshold increases. In the intensity picture (short scale), the prediction is not affected by the threshold, as the process remains mostly unchanged (also their critical corresponding exponents) until very high thresholds are reached.