Dealing with ignorance: universal discrimination, learning and quantum correlations

Abstract

Una de las tareas fundamentales de la Teor a de la Informaci on Cu antica consiste en identi car el estado en que ha sido preparado un sistema cu antico. Cuando las posibles preparaciones forman una lista nita de estados, el problema recibe el nombre de discriminaci on de estados. El caso fundamental de unicamente dos estados posibles se conoce tambi en bajo el nombre de contraste de hip otesis. Una de las caracter sticas distintivas de la teor a cu antica es el hecho de que para dos estados no ortogonales no hay medida concebible que pueda identi car el estado del sistema con certeza. El indeterminismo cu antico exige, por tanto, un enfoque probabil stico para llevar a cabo esta tarea. Habitualmente se considera que los estados posibles del sistema son conocidos para el experimentador. En esta tesis analizo el papel que desempe~ na la informaci on previa disponible en la tarea de discriminaci on y, en particular, analizo situaciones en las que dicha informaci on es incompleta. Suponiendo una total ignorancia de la identidad de los estados posibles, estudio la probabilidad de error de una m aquina programable de discriminaci on para estados de qubit. Esta m aquina incorpora la informaci on sobre los estados en forma de programas de entrada donde se introducen los sistemas cu anticos en las diferentes preparaciones. Es decir, la informaci on es utilizada en su forma genuinamente cu antica, en lugar de como una descripci on cl asica de los estados. Esta ignorancia cl asica se tiene en cuenta en el dise~no de la m aquina, la cual ya no es espec ca para cada caso, sino que es capaz de discriminar entre cualquier par de estados de qubit, una vez ha sido convenientemente programada mediante las entradas de estados cu anticos. Estudio en detalle el rendimiento optimo de estas m aquinas para estados de qubit generales cuando se dispone de un n umero de copias arbitrario, tanto de los programas como del estado que se ha de identi car. Espec camente, obtengo las probabilidades de correcta identi caci on en los esquemas usuales de error m nimo y discriminaci on no ambigua, as como en el esquema m as general de discriminaci on con margen de error. A continuaci on, este tipo de automatizaci on en tareas de discriminaci on se lleva un paso m as all a. Entendiendo una m aquina programable como un dispositivo entrenado con informaci on cu antica que es capaz de realizar una tarea espec ca, propongo una m aquina de aprendizaje cu antico para clasi car estados de qubit que no requiere una memoria cu antica para almacenar los qubits de los programas, permitiendo as repetidos usos de la m aquina sin necesidad de volver a entrenarla. Demuestro que dicha m aquina de aprendizaje es capaz de clasi car el estado de un qubit con la m nima tasa de errores admitida por la mec anica cu antica, y por tanto puede ser reusada manteniendo un rendimiento optimo. Tambi en estudio un esquema de aprendizaje similar para estados de luz coherente. Este se presenta en un contexto de lectura de una memoria cl asica mediante se~nales coherentes correlacionadas cl asicamente cuando estas son producidas por una fuente imperfecta y, por lo tanto, en un estado con un cierto grado de incertidumbre asociado. Muestro que la extracci on de la informaci on almacenada en la memoria es m as e ciente si la incertidumbre se trata de una forma completamente cu antica. Por ultimo, analizo la estructura matem atica de las medidas cu anticas generalizadas, omnipresentes en todos los temas tratados en esta tesis. Propongo un algoritmo constructivo y e ciente para descomponer cualquier medida cu antica en una combinaci on convexa estad sticamente equivalente de medidas m as simples (extremales). Estas en principio son menos costosas de implementar en un laboratorio y, por tanto, pueden ser utiles en situaciones pr acticas donde a menudo prevalece una perspectiva de recursos m nimos.

Discriminating the state of a quantum system among a number of options is one of the most fundamental operations in quantum information theory. A primal feature of quantum theory is that, when two possible quantum states are nonorthogonal, no conceivable measurement of the system can determine its state with certainty. Quantum indeterminism so demands a probabilistic approach to the task of discriminating between quantum states. The usual setting considers that the possible states of the system are known. In this thesis, I analyze the role of the prior information available in facing a quantum state discrimination problem, and consider scenarios where the information regarding the possible states is incomplete. In front of a complete ignorance of the possible states' identity, I discuss a quantum programmable discrimination machine for qubit states that accepts this information as input programs using a quantum encoding, rather than just as a classical description. This \classical" ignorance is taken into account in the design, and, as a consequence, the machine is not case-speci c but it is able to handle discrimination tasks between any pair of possible qubits, once conveniently programmed through quantum inputs. The optimal per- formance of programmable machines is studied in detail for general qubit states when several copies of the states are provided, in the main schemes of unambiguous and minimum-error discrimination as well as in the more general scheme of discrimination with an error margin. Then, this type of automation in discrimination tasks is taken further. By realizing a programmable machine as a device that is trained through quantum information to perform a speci c task, I propose a quantum learning machine for classifying qubit states that does not require a quantum memory to store the qubit programs. I prove that such learning machine classi es the state of a qubit with the minimum-error rate that quantum mechanics permits, thus allowing for several optimal uses of the machine without the need of retraining. A similar learning scheme is also discussed for coherent states of light. I present it in the context of the readout of a classical memory by means of classically correlated coherent signals, when these are produced by an imperfect source and hence their state has some uncertainty associated. I show that the retrieval of information stored in the memory can be carried out more accurately when fully general quantum measurements are used. Finally, I analyse the mathematical structure of generalized quantum measurements, ubiquitous in all the topics covered in this thesis. I pro- pose a constructive and e cient algorithm to decompose any given quantum measurement into a statistically equivalent convex combination of simpler (extremal) measurements, which are in principle less costly to implement in a laboratory. Being able to compute this type of measurement decomposi- tions becomes useful in practical situations, where often a minimum-resources perspective prevails.