Estudi de sistemes dinàmics mitjançant la reducció de la seva dimensió

Abstract

L'objectiu del treball és mostrar que alguns aspectes de certs sistemes dinàmics discrets bidimensionals poden ser estudiats mitjançant sistemes de dimensió 1 que corresponen a casos particulars o simplificacions. Els tres capítols de què consta són independents entre sí.<br/><br/>La difèrencia d'orientació entre els tres és la següent: en el primer es relacionen, des d'un punt de vista totalment teòric, certes propietats eutre aplicacions unidimensionals i bidimensionals, per a una fanu1ia d'un tipus genèric; els altres dos capítols, en canvi, tracten sistemes dinàmics concrets. En el segon, l'estudi unidimensional previ no té interès per ell mateix, sinó que només és un pas preliminar per a obtenir informació amb la qual poder començar l'estudi bidimensional. En el tercer, en canvi, fem primerament l'estudi bidimensional i, a causa de les dificultats per anar més lluny, ens inventem un model unidimensional que manté tota. La informació que teníem del bidimensional i, a més, permet ampliar els resultats.<br/><br/>Remarquem que el segon i tercer capítol no són aplicacions del primer, sinó que il·lustren altres maneres de relacionar sistemes dinàmics discrets de dimensions diferents. Seguidament, resumim cada capítol.<br/><br/>En el primer, s'estudia una fanu1ia genèrica d'aplicacions bidimensionals, que depenenm d'un paràmetre "b", i tal que si b no és 0 llavors és un difeomorfisme, mentre que quan b=0, l'aplicació és degenerada, en el sentit següent: de les dues variables, una és muda (no apareix en la imatge); i, de les dues components, una és 0. Per tant, aquesta aplicació bidimensional degenerada és equivalent a un endomorfisme en dimensió 1.<br/><br/>S'estudia com estendre algunes propietats de l'aplicació unidimensional a la bidimensional (per a "b" suficientment petit), així com la dependència respecte el paràmetre. Prèviament, es fa un repàs dels conceptes i propietats que s'usen en el capítol, estenent la seva validesa (sempre que sigui possible) al cas d'aplicacions diferenciables que no siguin necessàriament invertibles -això es fa per a incloure el cas degenerat- i, seguidament, es tracten les propietats següents: existència i estabilitat de punts periòdics hiperbòlics, possibilitat de tenir alguna bifurcació genèrica de codimensió 1 (sella-node o flip, ja que eliminem la possibilitat de bifurcació de Hopf perquè l'aplicació és dissipativa), validesa del teorema de Hartman-Grobman per al nostre cas degenerat i dependència continua de la conjugació respecte "b", dependència diferenciable de les varietats invariants respecte "b", i existència de punts homoclinics transversals. En tots aquests casos, s'aconsegueix representar la propietat del sistema bidimensional com una extensió de la del sistema unidimensional, excepte en el cas del teorema de Hartman, en què la dependència respecte el paràmetre no es pot fer arribar fins a b = 0.<br/><br/>En cada secció, a més, s'inclouen resultats secundaris, aplicacions i comentaris referents a dificultats d'extensió d'altres conceptes.<br/><br/>En el capítol 2 es considera un sistema concret de tres equacions diferencials ordinàries amb les propietats següents: és lineal a trossos, depèn de 2 paràmetres, és un problema de pertorbació singular, i correspon a una modelització d'un circuit electrònic. El sistema té dos punts d'equilibri del tipus sella-focus inestable, i la complexitat de la seva dinàmica va associada al fenomen de Silnikov, ja que els valors propis de la linealització en aquests punts verifiquen les propietats adequades.<br/><br/>Després de definir el sistema, s'estudien les dificultats que origina la doble definició del camp sobre la frontera de separació dels diversos dominis, i es donen les seves propietats elementals.<br/><br/>Per a fer l'estudi de les bifurcacions homoclíniques i periòdiques del sistema, es considera una aplicació de Poincaré adequada. Quan el paràmetre de pertorbació és 0, el sistema esdevé singular: la dimensió efectiva és 2, i el moviment queda restringit a la varietat lenta (que consta de 2 semiplans), amb salts verticals instantanis entre les diverses components. L'aplicació de Poincaré associada és ara unidimensional, amb una quantitat numerable de discontinuïtats que s'acumulen de manera asimptòticament geomètrica. En aquest cas, usant raonaments de monotonia i continuïtat, es poden indexar les òrbites periòdiques superestables i les òrbites homoclíniques, i ordenar els seus valors respecte el segon paràmetre. Aquests índexs permeten associar, a cada valor corresponent a l'existència d'una òrbita homoclínica, una successió de valors corresponents a bifurcacions sella-node que s'hi acumulen.<br/><br/>Amb aquests valors inicials, usem un mètode de continuació respecte el paràmetre de pertorbació per tal de calcular corbes corresponents a existència d'òrbites homocliniques i a bifurcacions sella-node en el pla de paràmetres. S'aconsegueix ampliar resultats anteriors d'altres autors respecte a l'existència de seqüències de punts cuspidals sobre aquestes corbes, en un cas de període 2. A causa de dificultats numèriques, només és possible calcular 4 corbes en aquest cas, i és per això que dirigim l'estudi a període 1, on és possible trobar-ne 7. Les simulacions numèriques fan pensar que aquestes seqüències, almenys en el cas de període 1, són finites, ja que només les 2 primeres corbes presenten 2 cusps, mentre que a partir de la tercera ja semblen totalment suaus. Encara més, l'aspecte de les corbes amb cusps o sense cusps presenta un aspecte qualitatiu bastant diferent. Això va en contra de l'opinió d'altres autors, que mantenen l'existència d'una infinitat de cusps que s'acumulen geomètricament.<br/><br/>Per a sortir de dubtes respecte als resultats numèrics, s'inicia un estudi analitic basat en pertorbació de les corbes homoclíniques. La quantitat d'equacions que cal tractar és elevada, a causa que els temps de vol de les solucions en cada subdominí no són calculables explícitament. Amb tot, és possible reduir la quantitat d'equacions i d'incògnites, de manera que el problema conceptualment més fàcil. S'índica quines comprovacions s'han de fer sobre punts de la corba homoclínica per a poder assegurar la finitud de cusps sobre les corbes sella-mode suficientment pròximes, i es mostren les dificultats que hi ha per a portar l'estudi anàlitic fins al final.<br/><br/>En el tercer capítol es construeix i s'estudia una família d'aplicacions bidimensionals definides sobre la reunió de dues corones circulars i que modelitza els resultats experimentals d'un cert dispositiu òptic. La família resultant és l'aplicació de Poincaré d'un model de bifurcació de Silnikov-Hopf, i té dos paràmetres essencials: un permet tenir òrbites homoclíniques í l'altre controla una bifurcació de Hopf. El signe d'aquest paràmetre separa, doncs, dues possibilitats qualitativament diferents: en un cas el fenomen de Silnikov està associat a un punt d 'equilibri tipus sella-focus, i en l'altre, a un cicle límit que ha nascut de la sella (la qual s'ha transformat en un punt repulsor). L'aspecte que més ens interessa és l'existència d'una gran diversitat d'atractors.<br/>En primer lloc, es fa una anàlisi geomètrica de la faJru1ia, s'estudien les seves bifurcacions homoclíniques i periòdiques. Després, es recuperen i amplien els resultats experimentals. Això és possible gràcies al fet que el treball numèric amb el nostre model és molt més barat que el treball directe sobre les equacions en derivades parcials que governen el dispositiu original.<br/><br/>Tot seguit, es raonen les hipòtesis que cal afegir sobre els diversos paràmetres per tal que la família bidimensional es pugui aproximar bé per una família d'aplicacions del cercle definida explícitament de manera senzilla. Això no es pot fer sempre, i, de fet, deixem alguns casos de banda, ja que els que estudiem ja mostren prou complexitat.<br/><br/>L'estudi dels atractors en aquests model més simplificat respecte un paràmetre natural és molt més factible. A causa de la seva definició explícita senzilla, es poden donar resultats analítics respecte existència de bifurcacions periòdiques i a semblances amb l'aplicació logística. Encara més, es donen resultats quantitatius referents a la mesura relativa dels paràmetres per als quals existeixen atractors periòdics, atractors estranys petits o atractors estranys grossos (en el sentit que el seu suport sembla ser tota la circumferència); aquest últim és el cas més abundant, però els altres es donen també per a conjunts de mesura positiva.

This work contains three independent studies of two-dimensional maps using one-dimensional approximations.<br/><br/>In the first chapter we extend the following properties of one-dimensional endomorphisms to two-dimensional maps (close to them) or a special kind: hyperbolic periodic points and its stability, generic co-dimension one bifurcations (saddle-node and flip), validity or Hartman-Grobman theorem and continuous dependence or the conjugacy, smooth dependence or invariant manifolds, and transversal homoclinic points.<br/><br/>In the chapter 2 we study a system of 3 o.d.e which modelize an electronic circuit; it is piecewise linear, has 2 parameters and corresponds to a problem or singular pertorbation. The singular case (a parameter is 0) is studied using a one-dimensional Poincaré map, which has a countable number or discontinuities; we succeed in ordering the values or the second parameter which corresponds to existence or a superstable periodic orbit or a homoclinic periodic orbit. Then, we use a continuation method in order to obtain saddle-node bifurcation curves of the non-degenerate system in the parameter plane. We associate a sequency of these curves to each curve corresponding to existence of a homoclinic orbit, and we study (numerically and analytically) the existence of cuspidal points on these curves.<br/><br/>In the third chapter we study the attractors of a family or diffeomorphisms defined on two annulus, which serve as a model of certain optic device, and corresponds to a scenary of the Silnikov-Hopf bifurcation. We give the geometric properties of the maps, and we recover and extend the experimental results, where the attractor was a periodic orbit, a "small" strange attractor, or a "big" strange attractor. Then we justify (in some cases) the reduction to a more simplified model: a circle map defined explicitly by a very simple formula. Its study allows to explain the two- dimensional experimental results and also to obtain some quantitative estimations about relative measures (in a natural parameter) of the different kinds of attractors.