Hamiltonian linear type centers and nilpotent centers of linear plus cubic polynomial vector fields

Abstract

En este trabajo proporcionamos doce formas normales para todos los campos vectoriales polinomiales Hamiltonianos en el plano que tienen términos lineales más cúbicos homogéneos y que poseen en el origen un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Para estos sistemas caracterizamos sus retratos de fase globales en el disco de Poincaré y describimos sus diagramas de bifurcación. Las formas normales de estos sistemas las obtenemos utilizando las formas normales de los sistemas cúbicos homogéneos dados en [1], y añadiendo a estos los términos lineales de manera que el origen sea un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Luego describimos los retratos de fase globales en el disco de Poincaré de estas doce familias de sistemas. Para ello en primer lugar encontramos los retratos de fase en el infinito de esos sistemas, y luego encontramos los retratos de fase locales en los puntos singulares finitos. Usando estos dos resultados determinamos los posibles retratos de fase globales de cada familia. Para algunas familias los puntos singulares finitos son demasiado complicados para estudiar sus retratos de fase local, y en algunos otros casos ni siquiera podemos calcular los puntos singulares finitos. En estas situaciones primero determinamos el número máximo de puntos singulares finitos que los sistemas pueden tener, a continuación utilizando el hecho de que el índice total de todos los puntos singulares de un campo vectorial en la esfera de Poincaré con un número finito de puntos singulares es 2 (este resultado se conoce como el teorema de Poincaré–Hopf) determinamos el número posible de puntos singulares finitos y sus posibles retratos fase locales posibles. Para determinar los posibles retratos de fase globales posibles miramos el número de puntos de una recta que pasa por el origen que se encuentran en el mismo nivel de energía. Puesto que los polinomios Hamiltonianos de las doce familias de sistemas son de cuarto grado, no puede haber más que cuatro de tales puntos. Si encontramos que sólo un retrato de fase global es posible para una familia, entonces este es el retrato de fase de la familia. Si hay más de un retrato de fase global posible, entonces mostramos que podemos elegir los parámetros de forma que los retratos de fase se realicen. Por último, después de haber determinado los retratos de fase global para cada familia, describimos sus diagramas de bifurcación utilizando las dos diferencias principales entre estos retratos de fase: el número de puntos singulares finitos y el número de sillas en el mismo nivel de energía. [1] A. Cima and J. Llibre, “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. and Appl. 147 (1990), 420–448.

In this work we provide twelve normal forms for all the Hamiltonian planar polynomial vector fields having linear plus cubic homogeneous terms which possess a linear type center or a nilpotent center at the origin, and find their global phase portraits on the Poincaré disk. Moreover we provide the bifurcation diagrams of these differential systems. We obtain the normal forms of these systems using the normal forms of cubic homogeneous systems given in [1], and by adding to them the linear terms such that the origin is a linear type center or a nilpotent center. Then we describe the global phase portraits on the Poincaré disk of these twelve families of systems. To do this we first find the phase portraits at infinity of those systems, and then we find the local phase portraits at the finite singular points. Using these two results we determine the possible global phase portraits of each family. For some families the finite singular points are too complicated to study their local phase portraits, in some other cases we even cannot calculate the finite singular points. In these situations we first determine the maximum number of finite singular points that the systems can have, then using the fact that the total index of all the singular points of a vector field on the Poincaré sphere with a finite number of singular points is 2 (this result is known as the Poincaré–Hopf theorem) we determine the possible number of finite singular points and their possible local phase portraits. To determine the possible global phase portraits we look at the number of points of a straight line passing through the origin that are at the same energy level. Since the Hamiltonian polynomials of the twelve families of systems are quartic, there can be at most four such points. If we find only one possible global phase portrait for a family then we are done. If there are more than one possible global phase portrait then we show that for some specific choice of parameters those phase portraits are indeed realizable. Finally, after having determined the global phase portraits for each fam- ily, we describe their bifurcation diagrams using the two main differences between these phase portraits: the number of finite singular points and the number of saddles at the same energy level. [1] A. Cima and J. Llibre, “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. and Appl. 147 (1990), 420–448.