Alguns punts d'àlgebra homotòpica

Abstract

L'any 1967, D. Quillen introduí la noció de categoria de models, estructura adaptada a l'estudi de l'àlgebra homotòpica. Una estruc¬tura de categoria de models en una categoria donada consisteix en l'elecció de tres classes de morfismes distingits, sotmeses a uns certs axiomes, que permeten definir una teoria d'homotopia en la categoria i representacions concretes de la categoria homotòpica. Així mateix, una estructura de categoria de models dóna criteris per a l'existència i el càlcul dels functors derivats de functors definits entre categories que posseixen la dita estructura. Aquest és el context de la memòria.<br/>Pel que fa a les categories de models, s'hi demostra que cate¬gories habituals de l'àlgebra homològica diferencial i de l'homotopia racional, com són la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc, o la d'extensions d'una àlgebra dgc fixada, tenen una tal estructura. Com a aplicació, es demostra l'existència dels functors derivats dels functors "producte tensorial" i "indescomponibles" (cap. II).<br/>Un tipus de models particulars són els models minimals, in¬troduïts a l'homotopia racional per Sullivan. En la memòria es proposa una definició categòrica dels mateixos, que comprèn altres models "minimals" de la literatura (resolucions minimals de Tate-Jozefiak, per exemple). Així mateix es demostra l'existència de tals models en les categories de complexos de cocadenes a coeficients en un anell local i en la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc (cap. IV).<br/>El punt central de la memòria és l'estudi de les estructures de categories de models i dels models minimals en les categories bifi-brades, la definició de les quals és deguda a Grothendieck. Una cate¬goria bifibrada pot pensar-se com una família de categories parame-tritzada per una altra categoria. Així, per exemple, les categories de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc qualsevol o la categoria de morfismes d'àlgebres dgc són categories bifibrades. En la memòria es demostra que tals categories admeten una estructura natural de categoria de models i es caracteritzen els seus models minimals (cap. III i IV).<br/>Entre els diversos tipus d'homotopia racional, Sullivan distingeix els formals, com aquells determinats completament per l'àlgebra de cohomologia. Aquesta noció prové d'una obstrucció homotòpica a l'existència d'estructures kälherianes sobre una varietat. En la memòria, es dóna una definició categòrica de formalitat. Aplicada a les categories bifibrades anteriors, permet generalitzar el resultat de Sullivan: la formalitat dels morfismes d'àlgebres dgc és independent del cos base (cap. IV, teorema V).<br/>L'últim capítol està dedicat al tor diferencial, functor derivat del producte tensorial de mòduls dg i àlgebres dgc. Els principals resul¬tats són la comparació de les diferents defincions del tor diferencial i la compatibilitat amb els functors d'oblit i dels indescomponibles (cap. V).

On 1967 D. Quillen introduced the notion of model category, a structure adapted for the study of homotopical algebra. A model category structure in a given category consists in the election of three types of distinguished morphisms, subject to certain axioms, which allow to define an homotopy theory in the category and specific representations of the homotopy category. Also, a structure of model category provides with criteria for the existence and calculation of derived functors of functors defined among categories which share the above mentioned structure. This is the context to this report.<br/>Regarding the model categories, we prove here that, usual categories in diferential homological algebra and in rational homotopy, such as the category of dg-modules over a dgc-algebra, or the category of extensions of a fixed dgc-algebra have such a structure. As an application, we prove the existence of the derived functors of "tensorial product" and "indecomposables" (chapter II).<br/>A particular type of models are minimal models, introduced in rational homotopyby Sullivan. In this report we suggest a categorical definition of these models, which includes other minimal models already written about (as, for example Tate-Jozefiakminimal resolutions). Also, we prove the existence of these models in the category of cochain complexes over a local ring and in the category of dg-modules over adgc-algebra.<br/>The central theme in this report is the study of the structures of model categories and of minimal models in bifibred categories. We owe the definition of these to Grothendieck. We can consider a bifibred category as a family of categories parametrized by another category. For example, the category of dg-modules over anydgc-algebra or the category of morphisms of dgc-algebras are bifibred categories. In the report we prove that such categories admit a natural structure of model category and we characterize their minimal models (chapters III and IV).<br/>Among the diferent types of rational homotopy , Sullivan points out the formals as the ones being determinated entirely by the cohomology algebra. This notion derives from the existence of an homotopic obstruction to the existence of k¨alherianstructures on a variety. In this report we give a categorical definition of formality. This definition, applied to the above mentioned bifibred categories, allows a generalization of the results of Sullivan: formality of dgc-algebra morphisms does not depend on theground field (chapter IV, theoreme V).<br/>The last chapter centres on the diferential tor, the derived functor of tensorial product of dg-modules and dgc-algebras. The main results are the comparison between the diferent definitions of this diferential tor and the compatibility with the forgetful functor and the indecomposable functor (chapter V).