Geometria integral en espais de curvatura holomorfa constant

Abstract

A la tesi doctoral amb títol "Geometria integral en espais de curvatura holomorfa constant" es resolen qüestions de geometria integral clàssica però en espais de curvatura holomorfa constant, és a dir, a l'espai hermític estàndard, a l'espai projectiu complex i a l'espai hiperbòlic complex. <br/>Per assolir l'objectiu, primer de tot, es resumeixen les principals propietats i definicions de varietats de Kähler i, en particular, dels espais de curvatura holomorfa constant. També s'introdueix el concepte de valoració en espais vectorials. Una valoració és un funcional a valors reals, de l'espai de dominis convexos, compactes, no buits, que satisfan una propietat d'additivitat. Aquest concepte està a la base de quasi tots els resultats d'aquest treball ja que aquesta noció es pot estendre en varietats regulars. Així doncs, es dedica un capítol a definir els exemples de valoracions que s'utilitzaran i també a descriure noves propietats (variacionals) de les valoracions en els espais de curvatura holomorfa constant. <br/>En aquest punt, es donen els principals resultats de la tesis. Un dels problemes d'estudi de la geometria integral clàssica consisteix a donar una expressió de la mesura de plans que talla un domini fixat de l'espai euclidià, en termes de la geometria del domini. La fórmula que s'obté a l'espai euclidià involucra els volums mixtos (o, equivalentment, per dominis amb frontera regular, les integrals de curvatura mitjana del domini). En els altres espais de curvatura seccional constant (és a dir, a l'espai projectiu i hiperbòlic real) també se satisfà una fórmula que involucra els volums mixtos. En aquest treball s'obté una expressió de la mesura de plans complexos (de dimensió complexa des de 1 fins a n &#8722; 1, on n és la dimensió complexa de l'espai ambient) que talla un domini compacte amb frontera regular. L'expressió s'obté en termes de les valoracions anomenades volums intrínsecs hermítics, que es defineixen al segon capítol de la tesis. Per provar la certesa d'aquesta expressió s'utilitzen noves fórmules variacionals, tant per la mesura de plans complexos que tallen un domini com pels volums intrínsecs hermítics. <br/>A partir del mètode variacional anterior, s'obté la fórmula de Gauss-Bonnet-Chern a l'espai projectiu i hiperbòlic complexos. A més a més, es relaciona la característica d'Euler d'un domini compacte amb la mesura d'hiperplans complexos que tallen el domini i la integral de la curvatura de Gauss. <br/>Per altra banda, s'estudia la propietat de reproductibilitat de les integrals de curvatura mitjana. Als espais de curvatura seccional constant es té una propietat reproductiva, és a dir, la integral sobre l'espai de plans d'una integral de curvatura mitjana del domini intersecció és un m &#769;ultiple de la mateixa integral de curvatura mitja de tot el domini. En els espais de curvatura holomorfa constant aquesta propietat no es conserva. Aquest fet s'explica també a partir de la teoria de valoracions. La demostració involucra tècniques de geometria Riemanniana i referències mòbils. <br/>Finalment, es dóna la mesura de plans coisotròpics que tallen un domini a l'espai complex. S'anomena pla coisotròpic a aquell que el seu ortogonal és totalment real. També s'estudien propietats de les hipersuperfícies (reals) generades per l'exponencial en un punt (que no són totalment geodèsiques), sobre l'espai hiperbòlic complex.

The main goal of this work is to solve questions in classical integral geometry but for complex space forms, i.e. in the standard Hermitian space, the complex projective space and the complex hyperbolic space.<br/>In order to attain this goal, first of all, I survey the main properties and definitions concerning Kähler manifolds and, in particular, complex space forms. I also recall the notion of valuation in vector spaces. A valuation is a real-valued functional from the space of non-empty compact convex sets, satisfying an additive property. This notion is one of the main tools in this work since it can be extended to smooth manifolds. So, a chapter is devoted to the study of this notion and to describe new (variational) properties of some valuations in complex space forms. <br/>Then, the main results are stated. One of the problems of study of the classical integral geometry consists on giving an expression for the measure of planes meeting a domain in the Euclidean space, in terms of the geometry of the domain. The obtained formula in the Euclidean space involves the so-called intrinsic volumes (or equivalently for domains with regular boundary, the mean curvature integrals of the domain). In the other spaces with constant sectional curvature (i.e. in projective and hyperbolic space) it is also verified a formula involving the intrinsic volumes. In this work, I obtain an expression for the measure of complex planes (of complex dimension from 1 to n &#8722; 1, where n denotes the dimension of the ambient space) meeting a regular domain. The obtained expression is given in terms of the so-called Hermitian intrinsic volumes valuations, already defined at the second chapter. In order to prove this equality I use new variational formulas for the measure of complex planes intersecting a regular domain and for the Hermitian intrinsic volumes. <br/>From this variational method, I also get the Gauss-Bonnet-Chern formula in the complex projective and hyperbolic space. Moreover, I relate the Euler characteristic of a compact domain with the measure of complex hyperplanes meeting a compact domain, and the Gauss curvature. <br/>On the other hand, I study the reproductive property of the mean curvature integrals. In the spaces with constant sectional curvature, it is satisfied a reproductive property, i.e. the integral over the space of planes meeting a regular domain of the intersection domain is a multiple of the same mean curvature integral of the whole domain. In complex space forms this property it is not satisfied. This fact it is explained from the theory of valuations, and the proof involves techniques in Riemannian geometry and moving frames. <br/>Finally, I give the measure of coisotropic planes meeting a domain in the standard Hermitian space. A plane is called coisotropic if its orthogonal is totally real. I also study properties of the (real) hypersurfaces in complex hyperbolic space generated by the exponential map in a point, which are not totally geodesics.