On the exoticness of some new p-local compact groups

Abstract

En 2003, Broto-Levi-Oliver van introduir el concepte de grup p-local finit, el qual és una generalització dels espais classificadors de grups finits p-completats. Més tard, els mateixos autors van introduir també el concepte de grup p-local compacte, el qual és una generalització dels espais classificadors de grups de Lie p-completats i dels grups p-compactes. Mentre que el concepte de grup p-local finit exòtic està clarament definit, en el cas compacte hi ha vàries famílies de grups que donen lloc a grups p-locals compactes, desdibuixant així la noció d'exoticitat.

En aquesta tesi construim nous exemples de grups p-locals finits exòtics per a cada p >= 5. A més, demostrem que aquests nous exemples són simples en el sentit de que no contenen cap subsistema normal propi no trivial.

Llavors, desenvolupem la teoria dels límits de sistemes de fusió. Demostrem que, per a tota família de sistemes de fusió satisfent certes propietats de compatibiliat, podem construir un sistema de fusió relacionat sobre un grup p-toral discret. A més, provem que aquesta construcció del límit coincideix amb el límit directe des d'un punt de vista categòric sota hipòtesis de saturació.

Utilitzant els nous exemples de grups p-locals finits per a p >= 5, així com també altres famílies descobertes per Broto-Levi-Oliver i Díaz-Ruiz-Viruel, apliquem la construcció del límit per a obtenir dos nous exemples de sistemes de fusió sobre grups p-torals discrets per a cada p >= 5 i un nou exemple per a p = 3.

Un cop tenim els nous sistemes de fusió, generalitzem un criteri de saturació conegut per a grups p-locals finits al cas compacte. Llavors, utilitzem aquest criteri per demostrar la saturació dels nous exemples que hem creat, donant lloc així a nous exemples de grups p-locals compactes.

Finalment, demostrem que tant el nou exemple de grup 3-local compacte com els dous nous exemples de grups p-locals compactes per a p >= 5 no es poden realitzar amb grups de Lie compactes ni amb grups p-compactes.

In 2003, Broto-Levi-Oliver introduced the concept of p-local finite group, which is a generalization for p-completed classifying spaces of finite groups. Later, the same authors introduced also the notion of p-local compact group, which is a generalization for p-completed classifying spaces of compact Lie groups and p-compact groups. While the concept of exotic p-local finite group is clearly defined, in the compact case there are several families of groups which give rise to p-local compact groups, blurring this way the notion of exoticness.

In this thesis we construct new examples of exotic p-local finite groups for every p >= 5. Moreover, we prove that these new examples are simple in the sense that they contain no proper nontrivial normal subsystems.

Then, we develop the theory of limits of fusion systems. We prove that, for any family of fusion systems satisfying certain compatibility properties, we can construct a related fusion system over a discrete p-toral group. Moreover, we prove that this limit construction coincides with the direct limit from a categorical point of view under saturation hypothesis.

Using the new examples of p-local finite groups for p >= 5, as well as other families of examples discovered by Broto-Levi-Oliver and Díaz-Ruiz-Viruel, we apply the limit construction to produce two new examples of fusion systems over discrete p-toral groups for each p >= 5 and one new example for p = 3.

Once we have the new saturated fusion systems, we generalize a saturation criterion known for p-local finite groups to the compact case. Then, we use this criterion to prove the saturation of the new examples we have created, giving rise in this way to new examples of p-local compact groups.

Finally, we prove that neither the new example of 3-local compact group nor the new two examples of p-local compact groups for p >= 5 can be realized by compact Lie groups or by p-compact groups.