Analytical tools to study the criticality at the outer boundary of potential centers

Abstract

El principal interès d’aquesta memòria pertany al marc de la teoria qualitativa d’equacions diferencials. El nostre objecte d’estudi són famílies de sistemes de centres al pla. Introduïm les nocions d’òrbita periòdica crítica i criticalitat, que són les nocions homòlogues a cicle límit i ciclicitat en el marc del Problema setzè de Hilbert, respectivament. El nostre interès és estudiar la bifurcació d’òrbites periòdiques crítiques des de la frontera exterior de l’anell de períodes. D’acord amb la noció de criticalitat, estudiem el nombre d’òrbites periòdiques crítiques d’un centre continu que poden emergir o desaparèixer des de la frontera exterior quan movem el paràmetre. Més concretament, treballem amb famílies contínues de sistemes potencials analítics al pla. Les eines que desenvolupem permeten abordar el problema en les dues següents situacions: o bé l’energia de la frontera exterior és infinita o bé és finita, per tots els paràmetres en consideració. En aquestes situacions, donem condicions suficients per tal que la criticalitat a la frontera exterior de l’anell de períodes sigui menor o igual que n. La principal idea en ambdós casos és trobar funcions analítiques que satisfan que podem incloure la derivada de la funció de període en un sistema ECT. Això implica en particular que la derivada de la funció de període té com a molt n zeros prop de la frontera exterior i, en conseqüència, la criticalitat està acotada per n. En relació amb això, dediquem el Capítol 1 al desenvolupament de eines analítiques per abordar el problema. Les tècniques en aquest capítol tracten amb el comportament asimptòtic a l’infinit d’una funció Wronskià. Al Capítol 2 desenvolupem els criteris abans mencionats. Finalment, el nostre camp de proves és la família dos-paramètrica de sistemes potencials donada per \dot{x}=-y, \dot{y}=(1+x)^p-(1+x)^q. La funció de període d’aquesta família va ser estudiada prèviament per Miyamoto i Yagasaki, que van provar que la funció és monòtona quan q=1 i p>;1. Al Capítol 3 millorem aquest resultat juntament amb altres resultats sobre la bifurcació d’òrbites periòdiques crítiques des del centre, des de l’interior quan pertorbem centres isòcrons, i des de la frontera exterior de l’anell de períodes. La combinació de tots aquests resultats ens permeten proposar una conjectura sobre el diagrama de bifurcació sobre el comportament global de la funció de període del sistema que considerem.

The main interest of this memoir is contained in the framework of the qualitative theory of differential equations. Our objects of study are families of systems of centers in the plane. We introduce the notions of critical periodic orbit and criticality, which are the counterparts of the notions of limit cycle and cyclicity in the framework of the Hilbert’s sixteenth problem, respectively. Our main interest in this memoir is to study the bifurcation of critical periodic orbits from the outer boundary of the period annulus. According with the notion of criticality, we shall study the number of critical periodic orbits of a continuous center that can emerge or disappear from the outer boundary of the period annulus as we move slightly the parameter. More concretely, we are concerned with continuous families of planar analytic potential systems that have a non-degenerated center at the origin. The tools we develop allow to tackle the problem in the following two situations: either the energy at the outer boundary is infinite or finite for all the parameters. In these situations, we give sufficient conditions in order that the criticality at the outer boundary of the period annulus is less or equal than n. The main idea in both cases is to find some analytic functions verifying that we can embed the derivative of the period function into an ECT-system. This implies in particular that the derivative of the period function has at most n zeros near the energy at the outer boundary and, accordingly, the criticality is bounded by n. In this regard we dedicate Chapter 1 to the development of some analytic tools with this aim in view. The techniques developed in this chapter are concerned with the asymptotic behaviour at infinity of a Wronskian function. In Chapter 2 we develop the criteria introduced above. Finally, our testing ground in this memoir is the two-parametric family of potential differential systems given by \dot{x}=-y, \dot{y}=(1+x)^p-(1+x)^q. The period function associated to the system above was previously studied by Miyamoto and Yagasaki, who prove that the period function is monotonous when q=1 and p>1. In Chapter 3 we improve this result together with some other results concerning the bifurcation of critical periodic orbits from the center, from the interior when we perturb isochronous centers, and from the outer boundary of the period annulus. The combination of all these results will lead us to propose a conjectural bifurcation diagram for the global behaviour of the period function of the system under consideration.