Albanese varieties of non-Archimedean uniformized varieties

Abstract

En esta tesis doctoral ofrecemos una construcción conjetural de la variedad de Albanese de una variedad uniformizada no arquimediana fijándonos en una estructura métrica contenida en la última y llamada su esqueleto (que es, esencialmente, una curva tropical). Para ello realizamos una construcción paralela (real, tropical) sobre el esqueleto, que deviene el esqueleto de nuestra propuesta para variedad de Albanese, la subimos a una construcción analítica sobre la variedad dada y usamos que su esqueleto es el cociente de un cierto subedificio localmente finito de un edificio de Bruhat-Tits, que también aparece como el esqueleto de la variedad uniformizante. Entonces, relacionamos unas ciertas cocadenas armónicas en los edificios con las medidas armónicas en sus finales como paso clave en la demostración de que la construcción hecha es la variedad de Albanese. Esta tesis tiene dos partes principales. Una está dedicada a describir con completa generalidad esta construcción en dimensión 1, mientras en la segunda estudiamos la estructura del edificio de Bruhat-Tits y realizamos una construcción que preveemos que es la variedad de Albanese buscada, bajo la hipótesis de que el cuerpo base tiene una valoración discreta. Empezamos estudiando la Jacobiana de un grafo, en el capítulo 1 sin más estructura, en el capítulo 2 un grafo métrico. Nuestro trabajo, junto con otros, muestra que nuestra descripción de la Jacobiana de un grafo métrico en términos de integración sobre los finales del árbol métrico que es su recubrimiento universal extiende, de alguna manera, la Jacobiana (discreta) de un grafo sin estructura métrica. Aquí introducimos las cocadenas armónicas en los árboles y las medidas armónicas en los finales, y demostramos que hay un isomorfismo entre ellas como paso importante para lograr el resultado principal. En el capítulo 3 desarrollamos la teoría de curvas de Mumford y sus Jacobianas en el marco de la geometría de Berkovich, las relacionamos con sus esqueletos por medio de la aplicación de retracción e introducimos las integrales multiplicativas. Entonces extendemos a nuestras hipótesis generales varios resultados conocidos en casos particulares (por ejemplo, sobre un cuerpo base local) gracias a esas herramientas recientes, y usamos los resutados sobre la Jacobiana de un grafo métrico aplicados al esqueleto correspondiente para obtener que la construcción realizada mediante integrales multiplicativas y medidas armónicas es una variedad abeliana. Después probamos que es la Jacobiana mediante la teoría de funciones theta, desarrollada desde la perspectiva novedosa de la geometría de Berkovich usando funciones tropicales. En el capítulo 4 adaptamos esta construcción a dimensión superior, dando un candidato natural a ser la variedad de Albanese de una variedad uniformizada no arquimediana tal como construyó Mustafin como una generalización de las curvas de Mumford. Para ello extendemos la noción de grupo de Schottky a cualquier dimensión siguiendo el trabajo de Mustafin y estudiamos con detalle la estructura de los edificios de Bruhat-Tits sobre un cuerpo completo con una valoración discreta. Entonces nos retringimos a dimensión 2 para definir las cocadenas armónicas sobre ciertos subcomplejos de cámaras, y probamos que son isomorfas a las medidas armónicas sobre un cierto compacto de los puntos racionales del correspondiente espacio proyectivo cuando el subcomplejo asociado es un edificio. Finalmente, usamos esto para hacer una reducción de la demostración de que la construcción realizada es un toro analítico.

In this PhD thesis, we give a conjectural construction of the Albanese variety of a non-Archimedean uniformized variety by means of looking at a metrical structure contained in the last one and called its skeleton (which is, essentially, a tropical curve). In order to do that we make a parallel (real, tropical) construction on the skeleton, which becomes the skeleton of the conjectural Albanese we were seeking for, we rise this to an analytic construction over the given variety and we use that its skeleton is the quotient of a certain locally finite subbuilding of a Bruhat-Tits building, which appears also as the skeleton of the uniformizing variety. Later, we relate the harmonic cochains on the buildings with the harmonic measures on the ends as a key step in the proof that one gets the Albanese variety. The thesis has two main parts. One is devoted to describe with complete generality this construction in dimension 1, while in the second we study the structure of the Bruhat-Tits building and we make a construction that we expect it is the Albanese variety, under the assumption that the ground field has a discrete valuation. We start by study the Jacobian of a graph, in the chapter 1 without more structure, in the chapter 2 a metric graph. Our work, together with others, shows that our description of the Jacobian of a metric graph in terms of integration on the ends of the universal covering metric tree extends in some way the (discrete) Jacobian of a graph without metric structure. Here we introduce harmonic cochains on the trees and harmonic measures on the ends, and we prove that they are isomorphic, as an important step to the main result. In the chapter 3 we develope the theory of Mumford curves and their Jacobians in the setting of Berkovich geometry, we relate them with their skeletons by means of the retraction map and we introduce the multiplicative integrals. Then, we extend to our general hypotheses several known results about them in particular cases (like for a local ground field) with those new tools, and we use the results on the Jacobian of a metric graph applied to the corresponding skeleton to get that the construction we do with multiplicative integrals and harmonic measures is an abelian variety. After that, we prove that it is the Jacobian by means of the theory of theta functions, developed from the new perspective of Berkovich geometry using tropical functions. In the chapter 4 we adapt this construction to higher dimension, giving a natural candidate to be the Albanese variety of a non-Archimedean uniformized variety as it was built by Mustafin as a generalization of Mumford curves. In order to do it, we extend the notion of Schottky group to any dimension following the work of Mustafin, and we study deeply the structure of the Bruhat-Tits buildings over a complete field with a discrete valuation. Then, we restrict to dimension 2 to define the harmonic cochains over certain chamber subcomplexes, and we prove that they are isomorphic to the harmonic measures over a certain compact set of the rational points of the corresponding projective space when the associated subcomplex is a building. Finally we use it to start to prove that the construction we do is an analytic torus.