Wavelet approach in computational finance

Abstract

En el món de les finances computacionals, tant els preus de derivats com la gestió de riscos han atret molt d'interès entre els professionals i l'acadèmia. Aquesta tesi pretén proporcionar tècniques basades en ondetes a fi de millorar algunes de les metodologies utilitzades en aquestes àrees. Les ondetes són famílies de funcions que es poden traslladar i dilatar arbitràriament generant bases ortogonals de L2(). En relació amb elles, ha sorgit una col·lecció de mètodes d'inversió de Fourier que es basen en l'aproximació de funcions a partir de la projecció en la base d’ondetes, de tal manera que els coeficients de l'expansió s'expressen mitjançant la transformada de Fourier de la funció a aproximar.

El mètode SWIFT (Shannon wavelet inverse Fourier technique) per valorar opcions d'estil europeu en un subjacent s'ha publicat i presentat recentment com una tècnica precisa, robusta i altament eficient basada en les ondetes de Shannon. Motivats per la valoració d’un tipus d'opcions exòtiques anomenades opcions arc iris, que depenen de diversos actius, un dels objectius de la tesi és l'extensió multidimensional del mètode SWIFT. Aquesta extensió hereta les propietats del mètode unidimensional i la convergència exponencial n'és una. Gràcies a la naturalesa de les ondetes de Shannon, no és necessari un truncament a priori del rang d'integració, tenim una estimació de l'error i fem ús d’algorismes de la transformada ràpida de Fourier per accelerar els càlculs. El mètode es prova a partir de diversos exemples comparant-lo amb mètodes recents en la literatura.

En l’àmbit de gestió de risc, són els reguladors els que s’encarreguen de determinar la quantitat de capital que les entitats financeres han de guardar per estar preparades per suportar pèrdues inesperades. És l’anomenat comitè de Basilea el que s’encarrega dels reguladors bancaris mundials. Recentment, el comitè ha revisat els estàndards establerts pel capital mínim per risc de mercat i, entre altres canvis, suggereix d'una banda moure l’estès ús de la mesura de risc VaR cap a la mesura ES, i l'altra banda, considerar la incorporació del risc derivat a causa de la no-liquiditat del mercat. És per això, que un segon objectiu de la tesi és presentar un nou mètode numèric basat en SWIFT per als càlculs del VaR (Value-at-Risk) i l’ES (Expected Shortfall) tenint en compte un horitzó de temps estocàstic per tenir en compte els problemes de liquiditat del mercat. Es consideren dos enfocaments diferents: l’aproximació delta-gamma que aproxima quadràticament el valor de la cartera en el canvi de valor dels factors de risc, i també l’aproximació del valor logarítmic de la cartera a partir de processos estocàstics coneguts com ara el Merton o el Kou.

El risc de crèdit és el risc de pèrdues per part del deutor en cas que no compleixi els acords i en general és la principal font de risc en un banc comercial. En aquesta tesi, investiguem el problema de calcular les mesures de risc de crèdit de les carteres sota els models multifactorials Gaussians i de t-còpula. És ben sabut que els mètodes de Montecarlo, que són els que generalment s’empren, són molt exigents des del punt de vista computacional en aquestes situacions. Per millorar aquests problemes, a la tesi presentem tècniques numèriques eficients i robustes basades en les ondetes de Haar per recuperar la funció de distribució acumulada de la variable de pèrdues a partir de la seva funció característica. L'anàlisi de l'error i els resultats obtinguts en l'apartat d'experiments numèrics mostren una maquinària fiable i útil per al mesurament de capital de risc de crèdit d'acord amb el Pilar II dels Acords de Basilea.

In the computational finance world both derivatives pricing and risk management have attracted lots of interest amongst practitioners and academia. This thesis aims to provide wavelets based techniques to enhance some of the methodologies used in the mentioned areas. Wavelets are families of functions that can be arbitrarily translated and dilated in order to generate orthogonal basis of L2(). In relation to them, a collection of Fourier inversion methods has emerged; they are based on the approximation of functions by projecting on the wavelets basis such that the coefficients of the expansion are expressed by means of the Fourier transform of the function to approximate.

The SWIFT (Shannon wavelet inverse Fourier technique) method for pricing European-style options on one underlying asset was recently published and presented as an accurate, robust and highly efficient technique based on Shannon wavelets. One of the achievements of the thesis is the extension of the method to higher dimensions by pricing exotic option contracts, called rainbow options, whose payoff depends on multiple assets. The multidimensional extension inherits the properties of the one-dimensional method, being the exponential convergence one of them. Thanks to the nature of local Shannon wavelets basis, we do not need to rely on a-priori truncation of the integration range, we have an error bound estimate and we use fast Fourier transform (FFT) algorithms to speed up computations. We test the method for several examples comparing it with state-of-the-art methods found in the literature.

When managing the risk, regulators measure the risk exposure of a financial institution to determine the amount of capital that the institution must hold as a buffer against unexpected losses. The Basel Committee on Banking Supervision (BCBS) is the committee of the world's bank regulators. BCBS has recently set out the revised standards for minimum capital requirements for market risk, it has focused, among other things, on the two key areas of moving risk measures from Value-at-Risk (VaR) to Expected Shortfall (ES) and considering a comprehensive incorporation of the risk of market illiquidity. Another goal of this thesis is the presentation of a novel numerical method based on SWIFT to compute the VaR and ES of a given portfolio within the stochastic holding period framework to take into account liquidity issues. Two approaches are considered: the delta-gamma approximation, for modelling the change in value of the portfolio as a quadratic approximation of the change in value of the risk factors, and some of the state-of-the-art stochastic processes for driving the dynamics of the log-value change of the portfolio like the Merton jump-diffusion model and the Kou model.

Credit risk is the risk of losses from the obligor's failure to honour the contractual agreements and it is usually the main source of risk in a commercial bank. In this thesis, we also investigate the challenging problem of estimating credit risk measures of portfolios with exposure concentration under the multi-factor Gaussian and multi-factor t-copula models. It is well-known that Monte Carlo (MC) methods are highly demanding from the computational point of view in these situations. To overcome this issue, we present efficient and robust numerical techniques based on the Haar wavelets theory for recovering the cumulative distribution function of the loss variable from its characteristic function. The analysis of the approximation error and the results obtained in the numerical experiments section show a reliable and useful machinery for credit risk capital measurement purposes in line with Pillar II of the Basel Accords.