Hadamard full propelinear codes of type Q. Rank and Kernel

Abstract

Los sistemas de comunicación se nutren de técnicas algebraicas y combinat óricas para recuperar la información en presencia de ruído e interferencias. Los códigos Hadamard constituyen una familia relevante en la teoría de códigos y ellos han sido objeto de estudio desde el siglo XX, por cientí cos como Turyn. Aunque estos códigos no son lineales en general, ellos poseen propiedades algebraicas y combinatóricas que permiten codi car, transmitir y decodi car un mensaje a través de un canal ruidoso. Los mecanismos más potentes para construír códigos de Hadamard con una estructura de grupo algebraico subyacente son: las matrices de Hadamard cocíclicias, los conjuntos de diferencias relativas, los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard properlineales. El propósito de esta tesis es explorar las propiedades algebraicas y combinat óricas de una subfamilia de los códigos Hadamard properlineales, que denominamos códigos Hadamard full properlineales. Nuestro primer objetivo es estudiar las relaciones existentes y las conexiones entre los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard full properlineales. Además, en esta nueva subfamilia de códigos encontramos estructuras full properlineales que generan ciertas matrices de Hadamard no simétricas; en concreto, estamos hablando de las familias que tienen asociado el grupo dicíclico Q8n y el grupo Cn Q8. Estas matrices de Hadamard son conocidas como las matrices de Williamson y las matrices de Ito. Para ayudar a decidir cuando dos códigos son equivalentes usaremos dos invariantes de los códigos: el rango y la dimensión del núcleo. Estos parámetros nos aportan información sobre los códigos no lineales; a modo de ejemplo, son un indicador para ver cuánto dista un código binario de ser lineal. Concretamente, estudiaremos el rango y la dimensión del kernel de ambas familias y utilizaremos técnicas iteradas que permiten crear códigos Hadamard full properlineales de mayor orden.

Communication systems need algebraic and combinatorial techniques to recover information in the presence of noise and interference. Hadamard codes constitute an important family of error correcting codes and they have been studied, since 20th century, by authors like Turyn. Although this codes are nonlinear, in general, they possess optimal algebraic and combinatorial properties which allow to encode, transmit and decode a message through a noisy channel. The most powerful mechanisms to construct Hadamard codes with a subjacent group structure are cocyclic Hadamard matrices, relative difference sets, Hadamard groups and Hadamard propelinear codes. The aim of this thesis is to explore the algebraic and combinatorial properties of a subfamily of the Hadamard propelinear codes which we term Hadamard full propelinear codes. Firstly, we study the connections between Hadamard groups and Hadamard full propelinear codes. Inside the class of Hadamard full propelinear codes we find several group structures with nonsymmetric Hadamard matrices. This is the case of the families with a subjacent dicyclic group Q8n and a Cn X Q8 group which belong to the class of Ito Hadamard matrices and the classs of Williamson Hadamard matrices, respectively. To help deciding whether two binary codes are nonequivalent we make use of two invariants: the rank and the dimension of the kernel. These parameters provide additional information about the code; for instance, they measure how far is the code from being linear. Specifically, we study the rank and the dimension of the kernel of the aforementioned families of Hadamard full propelinear codes and we also give iterative techniques which allow us to construct Hadamard full propelinear codes of higher orders.