Trivial 2-cocycles for invariants of mod p homology spheres and Perron's conjecture

Abstract

L'objectiu principal d'aquesta tesis és l'estudi de la conjectura de Perron. Aquesta conjectura afirma que certa funcio sobre el grup de Torelli mod p amb valors en Z/p és un invariant d'esferes d'homologia modul p.

Per tal d'abordar l'estudi d'aquesta conjectura, en aquesta tesis primer estudiem les esferes d'homologia modul p, les esferes d'homologia racional, i donem un criteri per determinar quan una esfera d'homologia racional té un split de Heegaard amb aplicació d'enganxament un element del grup de Torelli mod p, el cual ve donat pel nucli de la representació Symplectica modul p del mapping class group.

A continuació estenem els resultats de l'article ''Trivial cocycles and invariants of homology 3-spheres'' obtenint una construcció d'invariants amb valors a un grup abelià sense restriccions, a partir d'una família adecuada de 2-cocycles sobre el grup de Torelli. En particular, expliquem la influencia de l'invariant de Rohlin en la perdua de la unicitat en tal construcció.

Posteriorment, utilitzant les mateixes eines, obtenim una construcció d'invariants esferes d'homologia racional que tenen un split de Heegaard amb aplicació d'enganxament un element del grup de Torelli mod p, a partir d'una família adecuada de 2-cocycles sobre el grup de Torelli modul p. A més, al llarg d'aquesta construcció obtenim un invariant d'esfers d'homologia modul p el qual no apareix en la literatura.

Finalment, demostrem que la conjectura de Perrron és falsa donant una obstrucció que be donada pel fet que la primera classe caracteristica dels fibrats de superfícies reduida modul p no és nula.

The main objective of this thesis is the study Perron's conjecture. This conjecture affirms that some function on the group of Torelli mod p, with values in Z/p, is an invariant of mod p homology spheres.

In order to study this conjecture, in this thesis we first study the mod p homology spheres, the rational homology spheres and we give a criterion to determine whenever a rational homology sphere has a Heegaard splitting with gluing map an element of the Torelli group mod p, which is the group given by the kernel of the Symplectic representation modulo p of the mapping class group.

Next, we extend the results of the article ''Trivial cocycles and invariants of homology 3-spheres'' obtaining a construction of invariants with values to an abelian group without restrictions, from a suitable family of 2-cocycles on the Torelli group. In particular, we explain the influence of the invariant of Rohlin in the lost of uniqueness in such construction. Later, using the same tools, we obtain a construction of invariants of rational homology spheres that have a Heegaard splitting with gluing map an element of the mod p Torelli group, from a suitable family of 2-coccycles on the mod p Torelli group. In addition, throughout this construction we obtain an invariant of mod p homology spheres which does not appear in the literature.

Finally, we prove that Perrron's conjecture is false providing an obstruction that is given by the fact that the first characteristic class of surface bundles reduced modulo p does not vanish.