On Z₂s-linear Hadamard codes and their classification using the rank and kernel

Abstract

Els codis Z₂s-additius són subgrups de l'anell Zn2s i poden considerar-se com una generalització dels codis lineals sobre Z₂ i Z₄. Es diu codi Hadamard Z₂s - lineal a un codi binari Hadamard que és la imatge, via l'aplicació de Gray, d'un Z₂s-additiu. Està demostrat que per donar una classificació completa dels codis Hadamard Z₄-lineals es pot usar el rang o la dimensió del nucli. L'objectiu d'aquesta tesi és classificar la família dels codis Hadamard Z₂s - lineals obtinguda a través de l'aplicació de Gray generalitzada definida per Carlet, usant el rang i la dimensió del nucli. Primer, donem una construcció recursiva de les matrius generadores dels codis Hadamard Z₂s-additius corresponents. Gràcies a aquesta construcció, donem una demostració nova de que les imatges, via l'aplicació de Gray generalitzada, dels codis generats són Hadamard. Construïm el nucli dels codis Hadamard Z₂s -lineals de longitud 2ᵗ per a s > 2 , obtenim la seva dimensió i la usem per obtenir una classificació parcial d'aquests codis. A continuació, donem el rang d'aquests codis per a s = 3 i demostrem que, juntament amb la dimensió del nucli, podem obtenir una classificació completa dels codis Hadamard Z₈-lineals, fixant t ≥ 3. També, per a s = 3, establim la quantitat exacta de codis no equivalents d'aquest tipus. Finalment, provem que algunes famílies de codis Hadamard Z₂s -lineals de longitud 2ᵗ són equivalents fixant t ≥ 3. Això ens permet millorar els resultats anteriors relacionats amb la classificació parcial. També donem cotes superiors i inferiors per a la quantitat de codis Hadamard Z₂s -lineals no equivalents de longitud 2ᵗ. Més encara, calculem la quantitat exacta de codis no equivalents fins a t = 11.

Los códigos Z₂s-aditivos son subgrupos del anillo Zn2 s y pueden considerarse como una generalización de los códigos lineales sobre Z₂ y Z₄. Se llama código Hadamard Z₂s -lineal a un código binario Hadamard que es la imagen, vía la aplicación de Gray, de uno Z₂s-aditivo. Está demostrado que para dar una clasificación completa de los códigos Hadamard Z₄-lineales se puede usar el rango o la dimensión del núcleo. El objetivo de esta tesis es clasificar la familia de los códigos Hadamard Z₂s -lineales obtenida a través de la aplicación de Gray generalizada definida por Carlet, usando el rango y la dimensión del núcleo. Primero, damos una construcción recursiva de las matrices generadoras de los códigos Hadamard aditivos sobre Z₂s correspondientes. Gracias a esta construcción, damos una demostración nueva de que las imagenes, vía la aplicación de Gray generalizada, de los códigos generados son Hadamard. Construimos el núcleo de los códigos Hadamard Z₂s -lineales de longitud 2ᵗ para s > 2 , obtenemos su dimensión y la usamos para obtener una clasificación parcial de estos códigos. A continuación, damos el rango de estos códigos para s = 3 y demostramos que, junto con la dimensión del núcleo, podemos obtener una clasificación completa de los códigos Hadamard Z₈-lineales, fijando t ≥ 3. También, para s = 3, establecemos la can- tidad exacta de códigos no equivalentes de este tipo. Por último, probamos que algnas familias de códigos Hadamard Z₂s -lineales de longitud 2ᵗ son equivalentes fijando t ≥ 3. Esto nos permite mejorar los resultados anteriores relacionados con la clasificación parcial. También damos cotas superiores e inferiores para la cantidad de códigos Hadamard Z₂s -lineales no equivalentes de longitud 2ᵗ. Más aún, calculamos la cantidad exacta de códigos no equivalentes hasta t = 11.

The Z₂s-additive codes are subgroups of Zn2 s , and can be seen as a general- ization of linear codes over Z₂ and Z₄. A Z₂s -linear Hadamard code is a binary Hadamard code which is the Gray map image of a Z₂s-additive code. It is known that either the rank or the dimension of the kernel can be used to give a complete classification for the Z₄-linear Hadamard codes. The aim of this thesis is to classify the family of Z₂s -linear Hadamard codes obtained from the Carlet's generalized Gray map through the rank and di- mension of the kernel. First, we give a recursive construction of the generator matrices of the corresponding Z₂s-additive Hadamard codes. By using this con- struction, we present a new proof to show that the generated codes are indeed Hadamard. The kernel of these Z₂s -linear Hadamard codes of length 2ᵗ and its dimension are established for any s > 2, and it allows to give a partial classifica- tion of such codes. Moreover, we prove that this invariant provides a complete classification for some values of t and s. Later, the rank of these codes is com- puted for s = 3, and it is proved that this invariant, along with the dimension of the kernel, provides a complete classification for Z₈-linear Hadamard codes, once t ≥ 3 is fixed. In this case, the number of nonequivalent such codes is also established. Finally, we prove that some families of Z₂s -linear Hadamard codes of length 2ᵗ are equivalent, once t is fixed. This allows us to improve the previous results on the partial classification of these codes. An upper and a lower bound are given for the amount of nonequivalent Z₂s -linear Hadamard codes of length 2ᵗ. Moreover, after some computations, the exact amount of nonequivalent such codes of length 2ᵗ up to t = 11 is found.