Bifurcations of limit cycles in planar differential and piecewise differential systems

Abstract

La tesi tracta de l'estudi d'òrbites periòdiques aïllades, que anomenarem cicles límits, en alguns sistemes diferencials i diferencials a trossos en el pla. Aquest és un dels temes més importants de la Teoria Qualitativa de les Equacions Diferencials. El treball s'estructura en una introducció com a primer capítol i en quatre capítols on es desenvolupen els resultats i les proves.

La introducció s'inicia amb els problemes històrics més importants estudiats en la teoria qualitativa de les equacions diferencials centrades en l'objecte principal estudiat en aquest treball, els cicles límits. Acaba amb el resum dels resultats obtinguts.

En el capítol 2, estudiem el nombre d'òrbites periòdiques que bifurquen usant pertorbacions a trossos d'un camp vectorial polinòmic cúbic que té dos anells de període. L'origen i l'infinit del sistema no pertorbat és de tipus centre. Estudiem, usant anàlisi del promig a primer ordre, la bifurcació d'òrbites periòdiques en els dos anells, primer separadament i segon simultàniament. Quan la pertorbació polinòmica té un grau $n$, les integrals Abelianes internes i externes són funcions racionals i donem una cota superior pel nombre de zeros simples. El nombre màxim de cicles límits, usant una pertorbació cúbica i el mètode del promig a primer ordre, dels anells intern i extern és 9 i 8, respectivament. Quan es considera el problema de bifurcació polinòmica cúbica però de manera simultània, existeixen 12 cicles límit. Aquests es presenten en tres tipus de configuració: $\langle 9,3 \rangle, $ $\langle 6,6 \rangle,$ i $\langle 4,8 \rangle$. En l'escenari analític, només es van trobar 5 cicles límit.

El nombre de cicles límits que bifurquen d'un sistema quadràtic definit en dos trossos es desenvolupa en el capítol 3. Es consideren només sistemes diferencials quadràtics definits en dues zones separades per una recta i demostrem l'existència de 16 cicles límit. Pel que sabem, aquest és el millor resultat per a aquesta classe de sistemes. Tots els cicles límits apareixen en un sol niu, tot bifurcant de l'anell de període d'alguns centres quadràtics isòcrons. Usem el mètode del promig de primer i segon ordre. Això es fa pertorbant tots els sistemes quadràtics isòcrons que tenen una linealització biracional.

El Teorema de Bendixson-Dulac proporciona un criteri per a trobar cotes superiors pel nombre de cicles límits en sistemes diferencials analítics. Extenem aquest resultat a algunes classes de sistemes diferencials a trossos en el Capítol 4. Això es fa per sistemes diferencials a trossos pels que el Teorema de Green té validesa. Ho apliquem a tres tipus diferents de sistemes diferencials de Li\'enard. El primer és lineal, el segon és racional i l'últim correspon a una extensió particular de l'oscil·lador cúbic de van der Pol. En tots els casos, els sistemes presenten regions en l'espai de paràmetres sense cicles límits i altres que en tenen com a màxim un. Aquesta extensió no té sempre exhibeix un cicle límit. A més, presenta una connexió heteroclina on desapareix el cicle límit.

En el capítol 5 estudiem una família de sistemes diferencials polinòmics reversibles de grau 4, que tenen un centre no degenerat a l'origen. Aquesta família té grau un respecte a una de les variables. Ens interessen els sistemes d'aquesta classe que tenen també dos centres no degenerats fora de la recta de simetria. La configuració geomètrica d'aquests centres és alineada o triangular. Resolem el problema de centre en ambdues situacions. Quan els centres es troben en una posició triangular, estudiem el nombre de cicles límits que apareixen per una bifurcació degenerada de Hopf simultània. Fent una anàlisi de primer ordre obtenim 13 cicles de límit en dos tipus de configuració: (4,5,4) i (3,7,3).

A tese trata do estudo de órbitas periódicas isoladas, os chamados ciclos limite, em alguns sistemas diferenciais e diferenciais por partes no plano. Este é um dos tópicos mais importantes da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais. O trabalho é estruturado em uma introdução com um primeiro capítulo e, em seguida, quatro capítulos onde os resultados e as provas são desenvolvidos.

A introdução parte dos problemas históricos mais importantes estudados na teoria qualitativa das equações diferenciais centradas no objeto principal estudado neste trabalho, os ciclos limite. Termina com o resumo dos resultados obtidos.

No Capítulo 2, estudamos o número de órbitas periódicas que se bifurcam a partir de um campo vetorial polinomial cúbico com dois anéis de período por meio de perturbações por partes. O sistema planar cúbico não perturbado possui simultaneamente um centro na origem e no infinito. Estudamos, até a análise da média de primeira ordem, a bifurcação de órbitas periódicas dos dois anéis de período, primeiro separadamente e segundo simultaneamente. Quando a perturbação polinomial tem grau $n$, as integrais Abelianas internas e externas são funções racionais e fornecemos um limite superior para o número de zeros simples. O número máximo de ciclos limite, até a perturbação cúbica de primeira ordem, dos anéis interno e externo é 9 e 8, respectivamente. Quando o problema simultâneo de bifurcação polinomial cúbica é considerado, existem 12 ciclos limite. Eles aparecem em três tipos de configuração: $\langle 9,3 \rangle,$ $\langle 6,6 \rangle,$ e $\langle 4,8 \rangle$. No cenário analítico, apenas 5 ciclos limite foram encontrados.

O número de ciclos limite bifurcando a partir de um sistema quadrático por partes é estudado no Capítulo 3. Todos os sistemas diferenciais por partes considerados são em duas zonas separadas por uma linha reta. Provamos a existência de 16 ciclos limite nesta classe de sistemas. No que nos diz respeito, esse é o melhor limite inferior para a classe quadrática. Todos os ciclos limites aparecem em um ninho bifurcando-se a partir do anel de período de alguns centros quadráticos isócronos. Nós fazemos uma análise da média de primeira e segunda ordem. Isto é feito perturbando todos os sistemas quadráticos isócronos tendo uma linearização biracional.

O Teorema de Bendixson-Dulac fornece um critério para encontrar limites superiores para o número de ciclos limite em sistemas diferenciais analíticos. Extendemos esse resultado clássico para algumas classes de sistemas diferenciais por partes no Capítulo 4. Isso é feito na classe de sistemas diferenciais por partes onde o Teorema de Green se aplica. Nós aplicamos a três sistemas diferenciais diferentes de Li\'enard. O primeiro é linear, o segundo é racional e o último corresponde a uma extensão particular do oscilador cúbico de van der Pol. Em todos os casos, os sistemas apresentam regiões no espaço de parâmetros sem ciclos limite e outros tendo no máximo um. Esta extensão não possui um ciclo limite para todos os valores dos parâmetros. Apresenta uma conexão heteroclínica onde o ciclo limite desaparece.

No Capítulo 5, estudamos a família de sistemas polinomiais reversíveis quártico com um centro não degenerado na origem. Esta família tem grau um em relação a uma das variáveis. Nós estamos interessados em sistemas nesta classe tendo também dois centros extra também não degenerados fora da reta de simetria. A configuração geométrica desses centros é alinhada ou triangular. Nós resolvemos o problema de centro em ambas situações. Quando os centros estão em uma posição triangular, estudamos o número de ciclos limite que aparecem por uma bifurcação de Hopf degenerada simultânea. Até uma análise de primeira ordem, obtemos 13 ciclos limite em dois tipos de configuração: (4,5,4) e (3,7,3).

The thesis deals with the study of isolated periodic orbits, the so called limit cycles, in some differential and piecewise differential systems in the plane. This is one of the most important topic in the Qualitative Theory of Differential Equations. The work is structured in an introduction as a first chapter and then four chapters where the results and proofs are developed.

The introduction starts with the most important historical problems studied in qualitative theory of differential equations centered in the main object studied in this work, the limit cycles. It finishes with the summary of the obtained results.

In Chapter 2 we study the number of periodic orbits that bifurcate from a cubic polynomial vector field having two period annuli via piecewise perturbations. The unperturbed cubic planar system simultaneously has a center at the origin and at infinity. We study, up to first order averaging analysis, the bifurcation of periodic orbits from the two period annuli, first separately and second simultaneously. When the polynomial perturbation has degree $n$, the inner and outer Abelian integrals are rational functions and we provide an upper bound for the number of simple zeros. The maximum number of limit cycles, up to first order cubic perturbation, from the inner and outer annuli is 9 and 8, respectively. When the simultaneous cubic polynomial bifurcation problem is considered, 12 limit cycles exist. They appear in three configuration types: $\langle9,3\rangle,$ $\langle 6,6\rangle,$ and $\langle 4,8\rangle$. In the non-piecewise scenario, only 5 limit cycles were found.

The number of limit cycles bifurcating from a piecewise quadratic system is studied in Chapter 3. All the differential systems considered are piecewise in two zones separated by a straight line. We prove the existence of 16 crossing limit cycles in this class of systems. As fas as we are concerned, this is the best lower bound for the quadratic class. All the limit cycles appear in one nest bifurcating from the period annulus of some isochronous quadratic centers. We do a first and second averaging analysis. This is done perturbing all the isochronous quadratic systems having a birational linearization.

The Bendixson--Dulac Theorem provides a criterion to find upper bounds for the number of limit cycles in analytic differential systems. We extend this classical result to some classes of piecewise differential systems in Chapter 4. This is done in the class of piecewise differential systems where the Green Theorem applies. We apply it to three different Li\'enard piecewise differential systems. The first is linear, the second is rational and the last corresponds to a particular extension of the cubic van der Pol oscillator. In all cases, the systems present regions in the parameter space with no limit cycles and others having at most one. This extension has no a limit cycle in the full parameters space. It presents a heteroclinic connection where the limit cycle disappears.

In Chapter 5 we study the family of quartic linear-like time reversible polynomial systems having a nondegenerate center at the origin. This family has degree one with respect to one of the variables. We are interested in systems in this class having also two extra nondegenerate centers outside the straight line of symmetry. The geometrical configuration of these centers is aligned or triangular. We solve the center problem in both situations. When the centers are in a triangular position we study the number of limit cycles appearing by a simultaneous degenerated Hopf bifurcation. Up to a first order analysis we obtain 13 limit cycles in two configuration types: (4,5,4) and (3,7,3).