Objective combinatorics through decomposition spaces

Abstract

Aquesta tesi proveeix construccions generals en el context d'espais de descomposici, generalitzant els resultats clàssics de la combinatòria al context homotòpic. Això requereix desenvolupar eines generals en la teoria d'espais de descomposició i noves perspectives, que siguin d'interès general, independentment de les aplicacions a la combinatòria. Al primer capítol, resumim la teoria de l'homotopia i la combinatòria de la 2-categoria de grupoides. Continuem amb una revisió de les nocions necessàries de la teoria de categories d'ordre infinit. A continuació, resumim la teoria dels espais de descomposició. Al segon capítol, identifiquem les estructures que tenen bi(co)mòduls d'incidència: són certs espais de Segal dobles augmentats subjectes a unes condicions d'exactitud. Establim un principi d'inversió de Möbius per a (co)mòduls i una fórmula de Rota per a certes estructures més implicades anomenades configuracions de bicomòduls de Möbius. La instància més important d'aquesta última noció sorgeix com cilindres d'aplicació d'adjuncions d'ordre infinit, o més generalment d'adjuncions entre espais de descomposició de Möbius, amb l'esperit de la fórmula original de Rota. Al tercer capítol, presentem eines per proveir situacions en què s'aplica la fórmula generalitzada de Rota. Com a exemple, calculem la funció de Möbius de l'espai de descomposició dels conjunts parcialment ordenats finits i l'explotem per obtenir també una fórmula per a l'àlgebra d'incidència de qualsevol espècie de restricció dirigida, operad lliure, o més generalment monada lliure sobre una monada polinòmica finitària. Al quart capítol, mostrem que les espècies hereditàries de Schmitt indueixen espais de descomposició monoidals i exhibim la construcció de biàlgebra de Schmitt com a instància de la construcció general de biàlgebra en un espai de descomposició monoidal. A més, mostrem que aquesta estructura de biàlgebra coactua sobre l'estructura de biàlgebra de les espècies restringides subjacent, per formar una biàlgebra en comòduls. Finalment, mostrem que les espècies hereditàries indueixen a una nova família d'exemples de categories operàdiques en el sentit de Batanin i Markl. Al cinquè capítol, que representa un treball conjunt amb Joachim Kock, introduïm una noció d'antípoda per a espais de descomposició (complets) monoidals, que indueixen una noció d'antípoda feble per a les seves bialgebres d'incidència. En el cas connectat, recuperem la noció habitual d'antípoda per a les àlgebres de Hopf. En el cas no connectat expressa un principi d'inversió d'abast més limitat, però sempre suficient per calcular la funció de Möbius com μ = ζ ◦ S, tal com per a les àlgebres de Hopf. Al nivell de les espais de descomposició, l'antípoda feble pren la forma d'una diferència formal d'endofunctors lineals Seven − Sodd, i és un refinament de la construcció general d'inversió de Möbius de Gálvez–Kock–Tonks, però explotant l'estructura monoidal.

This thesis provides general constructions in the context of decomposition spaces, generalising classical results from combinatorics to the homotopical setting. This requires developing general tools in the theory of decomposition spaces and new viewpoints, which are of general interest, independently of the applications to combinatorics.

In the first chapter, we summarise the homotopy theory and combinatorics of the 2-category of groupoids. We continue with a review of needed notions from the theory of ∞-categories. We then summarise the theory of decomposition spaces.

In the second chapter, we identify the structures that have incidence bi(co)modules: they are certain augmented double Segal spaces subject to some exactness conditions. We establish a Möbius inversion principle for (co)modules, and a Rota formula for certain more involved structures called Möbius bicomodule configurations. The most important instance of the latter notion arises as mapping cylinders of infinity adjunctions, or more generally of adjunctions between Möbius decomposition spaces, in the spirit of Rota’s original formula.

In the third chapter, we present some tools for providing situations where the generalised Rota formula applies. As an example of this, we compute the Möbius function of the decomposition space of finite posets, and exploit this to derive also a formula for the incidence algebra of any directed restriction species, free operad, or more generally free monad on a finitary polynomial monad.

In the fourth chapter, we show that Schmitt's hereditary species induce monoidal decomposition spaces, and exhibit Schmitt's bialgebra construction as an instance of the general bialgebra construction on a monoidal decomposition space. We show furthermore that this bialgebra structure coacts on the underlying restriction-species bialgebra structure so as to form a comodule bialgebra. Finally, we show that hereditary species induce a new family of examples of operadic categories in the sense of Batanin and Markl.

In the fifth chapter, representing joint work with Joachim Kock, we introduce a notion of antipode for monoidal (complete) decomposition spaces, inducing a notion of weak antipode for their incidence bialgebras. In the connected case, this recovers the usual notion of antipode in Hopf algebras. In the non-connected case it expresses an inversion principle of more limited scope, but still sufficient to compute the Möbius function as μ = ζ ◦ S, just as in Hopf algebras. At the level of decomposition spaces, the weak antipode takes the form of a formal difference of linear endofunctors S_even - S_odd, and it is a refinement of the general Möbius inversion construction of Gálvez--Kock--Tonks, but exploiting the monoidal structure.