Limit cycles of small amplitude in polynomial and piecewise polynomial planar vector elds

Abstract

David Hilbert l’any 1900, al Congrés Internacional de Matemàtiques va proposar 23 problemes que, segons el seu parer, motivarien els avenços en matemàtiques durant el segle XX. Entre aquests problemes, n’hi ha un apareix en l’estudi de les equacions diferencials ordinàries. El 16è problema de Hilbert, la segona part del qual pregunta pel nombre màxim i la posició relativa de les òrbites periòdiques aïllades, també anomenats cicles límit, d’un sistema polinòmial al pla en funció del seu grau n. Fins a l’actualitat, el 16è problema de Hilbert segueix essent un problema obert. Amb els anys i sense una solució, van començar a aparèixer versions més dèbils al 16è problema de Hilbert. Aquí ens interesa una d’elles, que consisteix en proporcionar el màxim nombre M(n) de cicles límit d’amplitud petita que es bifurquen des d’un centre o focus dèbil elementals.

Per ajudar a resoldre aquest problema, la nostra contribució en aquesta tesi és oferir un mecanisme que simplifiqui el càlcul dels desenvolupaments de Taylor de les constants de Lyapunov i presentar una teoria que ens ajudi a utilitzar les constants obtingudes per un sistema diferencial clàssic per estudiar cotes inferiors del valor de M(n). Dediquem part d’aquest treball a estudiar el mateix problema als sistemes definits a trossos. En aquest treball, considerem els camps vectorials fixos i presentem l’eina de paral·lelització que ens ajudarà a calcular els desenvolupaments de Taylor d’ordre alt de les constants de Lyapunov prop d’un centre no lineal i obtenir resultats sobre com obtenir cicles límit mitjançant aquests desenvolupaments. A més, considerem una família de camps vectorials i presentem un resultat que ens permet obtenir addicionalment k cicles límit si el sistema no perturbat té un centre amb k paràmetres lliures. Per als sistemes a trossos, es consideren de nou els camps vectorials fixos i mitjançant la paral·lelització, s’han pogut calcular les constants Lyapunov necessàries de tal forma que per a sistemes cúbics i quàrics es milloren les cotes inferiors pel nuúmero de cicles límit d’amplitud petita. Provem que M(3) i M(4) són més grans o iguals a 12 i 21, respectivament. A més a més, demostrem que si un sistema analític a trossos té un focus feble d’ordre 2n + 1, podem desplegar el nombre total de cicles límit pertorbant dins la classe de camps analítics definits a trossos. Aquest resultat és una extensió natural del resultat clàssic mostrat per Andronov per als sistemes analítics. A més, utilitzant l’equivalència entre les constants de Lyapunov i les funcions de Melnikov, millorem també la cota inferior de la ciclicitat local per a camps vectorials de grau sis.

La tesi s’estructura en quatre capítols:

Capítol 1. Cotes inferiors per a la ciclicitat local dels centres.

Capítol 2. Cotes inferiors per a la ciclicitat local per a famílies de centres.

Capítol 3. Ciclicitat local en camps vectorials polinòmials a trossos de grau petit.

Capítol 4. Ciclicitat local mitjançant la primera funció de Melnikov.

David Hilbert en el año 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticas, propuso 23 problemas que, en su opinión, motivarían los avances en matemáticas durante el siglo XX. Entre estos problemas, uno está relacionado con el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. El problema 16 de Hilbert, cuya segunda parte pregunta por el número máximo y la posición relativa de las órbitas periódicas aisladas, también conocidas como ciclos límite, de un sistema polinomial plano en función de su grado n. A día de hoy, el problema número 16 de Hilbert sigue sin resolverse. Con el paso de los años y sin una solución, han surgido versiones más débiles. Aquí estamos interesados en una de ellas, que consiste en proporcionar el número máximo M(n) de ciclos límite de amplitud pequeña que bifurcan desde un centro o un foco débil elementales.

Para ayudar a resolver este problema, nuestra contribución en esta tesis es ofrecer un mecanismo que simplifique el cálculo de los desarrollos de Taylor de las constantes de Lyapunov y presentar una teoría que nos ayude a usar las constantes obtenidas para el sistema diferencial clásico para estudiar nuevas cotas inferiores para M(n). Dedicamos parte de este trabajo a estudiar el mismo problema en los sistemas polinomials definidos a trozos. En este trabajo, consideramos campos de vectores fijos y presentamos la herramienta de paralelización que nos ayudará a calcular desarrollos de Taylor de alto orden para las constantes de Lyapunov cerca de un centro no lineal y obtener algunos resultados sobre cómo obtener ciclos límite utilizando estos desarrollos. Además, para una familia de campos vectoriales, presentamos un resultado que nos permite obtener k ciclos límite adicionales si el sistema no perturbado tiene un centro que tiene k parámetros libres. Para los sistemas definidos a trozos, consideramos nuevamente campos vectoriales fijos y, usando la paralelización, podemos calcular las constantes de Lyapunov necesarias para, en los sistemas cúbicos y cuárticos, mejorar las cotas inferiores conocidas para el número de ciclos límite de pequeña amplitud. Probamos que M(3) y M(4) son mayores o iguales que 12 y 21, respectivamente. Además, demostramos que si un sistema analítico a trozos tiene un foco débil de orden 2n+1, podemos desplegar el número total de ciclos límite perturbando en la clase de campos analíticos definidos en dos zonas. Este resultado es una extensión natural del resultado clásico mostrado por Andronov para sistemas analíticos. Además, utilizando la equivalencia entre las constantes de Lyapunov y las funciones de Melnikov, mejoramos también las cotas inferiores para la ciclicidad local en los campos polinomiales de grado seis.

La tesis está estructurada en cuatro capítulos:

Capítulo 1. Cotas inferiores para la ciclicidad local de los centros.

Capítulo 2. Cotas inferiores para la ciclicidad local para familias de centros.

Capítulo 3. Ciclicidad local en campos de vectores polinomiales definidos a trozos de grado pequeño.

Capítulo 4. Ciclicidad local utilizando la primera función de Melnikov.

David Hilbert in the year 1900, in the International Congress of Mathematics proposed 23 problems that in his opinion would motivate advances in mathematics during the 20th century. Among these problems, one is linked with the study of ordinary differential equations. The 16th Hilbert problem, whose second part asking about the maximum number and the relative position of the isolated periodic orbits, also called limit cycles, of a planar polynomial system in function of its degree n. Until nowadays, the 16th Hilbert problem remain unsolved. Over the years and without one solution, weaker versions began to emerge to 16th Hilbert problem. We are interested here in one of them, that consist in to provide the maximum number M(n) of small-amplitude limit cycles bifurcating from an elementary center or an elementary weak-focus.

In order to help to solve this problem, our contribution in this thesis is offer a mechanism that simplifies the calculation of the Taylor developments of the Lyapunov constants and to present a theory that help us to use the constants obtained for classical differential system to the study of lower bounds for the value M(n). We dedicate part of this work to study the same problem to piecewise systems. In this work, we consider fixed vector fields and we present the parallelization tool that will help us to calculate high order Taylor developments of Lyapunov constants near a center different from the linear one and get some results about how to obtain limit cycles using these developments. Moreover, we consider a family of vector fields and we present a result that allows us to get k extra limit cycles if the unperturbed system has a center having k free parameters. For piecewise systems, we consider again fixed vector fields and using parallelization, we were able to calculate the necessary Lyapunov constants for cubic and quartic systems to improve lower bounds of limit cycles. We prove that M(3) and M(4) are bigger than or equal to 12 and 21, respectively. Moreover, we prove that if an analytic piecewise system has weak-focus or order 2n+1, we can unfold the total number of limit cycles perturbing in the analytic piecewise class. This result is a natural extension of the classical result showed by Andronov for analytic systems. Moreover, using the equivalence among Lyapunov constants and Melnikov functions, we improve also the lower bounds for the known values of the local cyclicity for sextic vector fields.

The thesis is structured in four chapters:

Chapter 1. Lower bounds for the local cyclicity of centers

Chapter 2. Lower bounds for the local cyclicity for families of centers

Chapter 3. Local cyclicity in lower degree piecewise polynomial vector fields

Chapter 4. Local cyclicity using the first Melnikov function