Stochastic equations with fractional noise: continuity in law and applications

Abstract

L’objectiu principal és estudiar la continuïtat en llei d’una família d’equacions diferencials parcials estocàstiques. Les equacions considerades són les equacions estocàstiques de calor i d’ones, en diversos ambients diferents. Suposem que el soroll sigui soroll blanc en la variable de temps i que sigui sorolls fraccionari, que depèn del paràmetre H, en la variable d’espai. Investiguem la dependència de les equacions del paràmetre H, demostrant que són contínues respecte a ell. També mostrem un resultat similar en el marc de la teoria de rough paths, en una configuració unidimensional. Finalment, donem una aplicació per a aquesta família de sorolls fraccionaris: modelem els preus de l’electricitat al mercat elèctric italià mitjançant un model impulsat per una equació fraccionaria.

El objetivo principal es estudiar la continuidad en la ley de una familia de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. Las ecuaciones consideradas son las ecuaciones estocásticas de calor y ondas, en varios entornos diferentes. Suponemos que el ruido sea ruido blanco en la variable de tiempo y que sea ruido fraccional, dependiendo del parámetro H, en la variable de espacio. Investigamos la dependencia de las ecuaciones del parámetro H, demostrando que son continuas con respecto a él. También mostramos un resultado similar en el marco de la teoría de rough paths, en un entorno unidimensional. En fin, damos una aplicación para esta familia de ruidos fraccionarios: modelamos los precios de la electricidad en el mercado liberalizado italiano de electricidad por medio de un modelo fraccionario.

The main objective is to study the continuity in law of a family of stochastic partial differential equations. The equations considered are the stochastic heat and wave equations, in various different settings. We suppose that the driving noise is white noise in the time variable and it is fractional noise, depending from the parameter H, in the space variable. We investigate the dependence of the equations from the parameter H, proving that they are continuous with respect to it. We also show a similar result in the framework of rough paths theory, in a one dimensional setting. Finally, we give an application for this family of fractional noises: we model the electricity prices in the liberalized Italian electricity market by means of a fractional-driven model.