Universitat Politècnica de Catalunya
Lario Loyo, Joan Carles
2021-10-29
109 p.
Universitat Politècnica de Catalunya. Facultat de Matemàtiques i Estadística
An algebraic variety defined over a field is said to have Diophantine stability for an extension of this field if the variety does not acquire new points in the extension. Diophantine stability has a growing interest due to recent conjectures of Mazur and Rubin linked to the well-known Lang conjectures, generalizing the celebrated Faltings theorem on rational points on curves of genus grater or equal than 2. Their framework is characteristic zero, and we shall focus on the analogous and related questions in positive characteristic. More precisely, the aim of the thesis is to initiate the study of Diophantine stability for curves and surfaces defined over finite fields. First we prove the finiteness of the finite field extensions where an algebraic variety can exhibit Diophantine stability (DS) in terms of its Betti numbers (the genus in the case of curves, the Hodge diamond in the case of surfaces, etc.) Then, we analyze the existence of curves with Diophantine stability. More precisely, for curves of genus g<=3 we give the complete list of (isomorphism classes of) DS-curves, and we also provide data on the candidate Weil polynomials for DS-curves of genus g=4 and 5. For curves of large genus, we exhibit certain families of DS-curves: Deligne-Lusztig curves, Carlitz curves, .... Finally, we also aim to make a contribution on surfaces defined over finite fields with Diophantine stability. From the classification of surfaces of Enriques-Munford-Bombieri we derive partial results and a census of DS-surfaces.
Es diu que una varietat algebraica definida sobre un cos té estabilitat diofantina per a una extensió d'aquest cos si la varietat no adquireix punts nous a l'extensió. L'estabilitat diofantina té un interès creixent a causa de les recents conjectures de Mazur i Rubin vinculades a les conegudes conjectures de Lang, generalitzant el famós teorema de Faltings sobre punts racionals de corbes de gènere major o igual a 2. El seu marc de treball és en característica zero, i en aquesta tesi ens centrem en les qüestions anàlogues i d'altres relacionades en característica positiva. Més precisament, l'objectiu de la tesi és iniciar l'estudi de l'estabilitat diofantina per a corbes i superfícies definides sobre cossos finits. Primer, demostrem la finitud de les extensions de cossos finits on una varietat algebraica pot presentar estabilitat diofantina (DS) en funció dels seus nombres de Betti (el gènere en el cas de les corbes, el diamant de Hodge en el cas de les superfícies, etc.) Després, analitzem l'existència de corbes amb estabilitat diofantina. Més precisament, per a les corbes de gènere g <= 3 donem la llista completa (de classes d'isomorfisme) de corbes DS i també proporcionem dades sobre els polinomis de Weil candidats per a les corbes DS de gèneres g = 4 i 5. Per a les corbes de gènere gran, exposem algunes famílies de corbes DS: corbes de Deligne-Lusztig, corbes de Carlitz, .... A continuació, també fem una contribució sobre superfícies definides sobre cossos finits amb estabilitat diofantina. De la classificació de superfícies d'Enriques-Munford-Bombieri obtenim resultats parcials i un cens de superfícies DS
Curves and surfaces over nite elds; Diophantine stability
514 - Geometría
Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística
ADVERTIMENT. Tots els drets reservats. L'accés als continguts d'aquesta tesi doctoral i la seva utilització ha de respectar els drets de la persona autora. Pot ser utilitzada per a consulta o estudi personal, així com en activitats o materials d'investigació i docència en els termes establerts a l'art. 32 del Text Refós de la Llei de Propietat Intel·lectual (RDL 1/1996). Per altres utilitzacions es requereix l'autorització prèvia i expressa de la persona autora. En qualsevol cas, en la utilització dels seus continguts caldrà indicar de forma clara el nom i cognoms de la persona autora i el títol de la tesi doctoral. No s'autoritza la seva reproducció o altres formes d'explotació efectuades amb finalitats de lucre ni la seva comunicació pública des d'un lloc aliè al servei TDX. Tampoc s'autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant als continguts de la tesi com als seus resums i índexs.
