Generalized exterior-algebraic electromagnetism in (k, n)-dimensional spacetime

Abstract

This doctoral thesis aims to find a connection between two different disciplines. On the one hand, the electromagnetic theory, one of the most known and most applied theories in physics, properly described by the famous Maxwell equations. On the other hand, the theory of information and communication, provided of a mathematical structure which mainly includes the concepts of probability and statistics. In order to establish a contact point between the two, we first decided to develop a suitable mathematical framework, which could accomodate the two theories in the appropriate context. We therefore chose to use the mathematical theory of exterior algebra, because it allows to combine a simple and intuitive method coming from a classical vector conception, with more advanced but equally effective mathematical tools. Having to build a theory from the beginning, we have opted to consider a procedure as general as possible and, therefore, we proceed in a space-time with arbitrary dimensions, both as regards time and as regards space. We formulate our theory in this space-time, utilizing multivector fields, also of arbitrary degree, in order to broaden the classical concept of vector field. The electromagnetic theory is thus generalized through these multivectors and the fact of having several free parameters, such as the dimensions of space-time and the grade of the multivectoral field, allows to identify various models, obtaining the known ones and opening the doors to new horizons. In practice, to build our theory we can follow two distinct but complementary approaches. In the first place, making an analogy with the classical theory, we can directly use the generalized definitions of exterior algebra to postulate a natural extension of the electromagnetic theory in arbitrary dimensions. Secondly, we have developed in parallel a dynamical theory, so-called Lagrangian, purposely built for multivector fields of arbitrary grade. Regardless of the path chosen, we have obtained a consistent theory that presents its equations of motion, corresponding to the generalized Maxwell equations, and all the equivalent physical quantities resulting from new conservation laws, which identify the quantities of the system that remain unchanged, such as energy and momentum. The connection point with the theory of communication emerges in dealing with the electromagnetic waves coming from the solutions of Maxwell equations. Studied from the multivectoral point of view of exterior algebra, these waves might open the doors to a new interpretation of the transmission of signals from a different perspective.

Esta tesis doctoral tiene el objetivo de encontrar un vínculo entre dos disciplinas diferentes. Por un lado, la teoría electromagnética, una de las teorías más conocidas y aplicadas de la física y debidamente descrita por las famosas ecuaciones de Maxwell. Por otro lado, la teoría de la información y de la comunicación, dotada de una estructura matemática que comprende mayormente los conceptos de probabilidad y estadística. Para establecer un punto de encuentro entre las dos, primero decidimos desarrollar una estructura matemática apropiada, que pudiera conciliar las dos teorías en el contexto adecuado. Por lo tanto, decidimos utilizar la teoría matemática del álgebra exterior, porque es capaz de combinar un método simple e intuitivo proveniente de una concepción vectorial clásica, con herramientas matemáticas más avanzadas pero igualmente efectivas. Al tener que construir una teoría desde el principio, hemos optado por considerar un tratamiento lo más general posible y, por tanto, procedemos en un espacio-tiempo con dimensiones arbitrarias, tanto en el tiempo como en el espacio. Construimos nuestra teoría en este espacio-tiempo, basándonos en campos multivectoriales, también de grado arbitrario, para ampliar el concepto clásico de campo vectorial. La teoría electromagnética se generaliza a través de estos multivectores y el hecho de tener varios parámetros libres, como las dimensiones del espacio-tiempo y el grado del campo multivectorial, permite identificar varios modelos, obteniendo los ya conocidos y abriendo las puertas a nuevos horizontes. Operacionalmente, para construir nuestra teoría podemos seguir dos enfoques distintos pero complementarios. En primer lugar, haciendo una analogía con la teoría clásica, podemos utilizar directamente las definiciones generalizadas del álgebra exterior para postular una extensión natural de la teoría electromagnética en dimensiones arbitrarias. En segundo lugar, hemos desarrollado, en paralelo, una teoría dinámica, llamada Lagrangiana, construida a propósito para campos multivectoriales de grado arbitrario. Independientemente del enfoque elegido, hemos obtenido una teoría consistente que presenta sus ecuaciones de movimiento, es decir, las ecuaciones de Maxwell generalizadas, y todas las cantidades físicas equivalentes resultantes de las nuevas leyes de conservación, que identifican las cantidades del sistema que permanecen sin alterar, tales como energía y momento. El punto de conexión con la teoría de la comunicación surge al estudiar las ondas electromagnéticas provenientes de las soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Consideradas desde el punto de vista multivectorial del álgebra exterior, estas ondas pueden abrir las puertas a una nueva interpretación de la transmisión de señales desde una perspectiva diferente.