Computational Approach to some Problems in Discrete Dynamical Systems

Abstract

Aquesta tesi consta de dues parts. En la primera part proposem un algorisme per calcular intervals de rotació de sistemes dinàmics definits per aplicacions a la circumferència de grau 1. Aquest algorisme permet calcular de manera exacta l'interval de rotació per una família extensa d'aplicacions en el cas que els seus extrems siguin racionals. Aquest algorisme és general i no requereix que la funció estudiada sigui diferenciable. La segona part de la tesi està centrada en l'obtenció d'un mètode semianalític que ens permeti calcular l'expressió truncada d'ondetes per un atractor d'un sistema definit sobre el cilindre. En particular, un que ve donat per una rotació irracional sobre la base del cilindre. Per tal de poder obtenir l'expansió d'ondetes, s'ha hagut de refinar i perfeccionar molt la capacitat d'avaluar una ondeta en un punt, desenvolupant noves aplicacions de l'Algoritme de Daubechies-Lagarias en el procés. Finalment, amb les sèries trucades obtingudes hem aplicat resultats d'anàlisi funcional que permeten calcular la regularitat de les funcions a partir dels seus coeficients d'ondetes. Això ens ha permès obtenir una mesura (imperfecta) de l'estranyesa dels atractors. A partir d'això, hem pogut estudiar alguns casos d'atractors no caòtics estranys.

Esta tesis consta de dos partes. En la primera parte proponemos un algoritmo para calcular intervalos de rotación de sistemas dinámicos definidos por aplicaciones en la circunferencia de grado 1. Este algoritmo permite calcular de manera exacta el intervalo de rotación para una amplia familia de aplicaciones, en el caso de que sus extremos sean racionales. Este algoritmo es general y no requiere que la función estudiada sea diferenciable. La segunda parte de la tesis se centra en la obtención de un método semianalítico que nos permita calcular la expresión truncada de ondículas para un atractor de un sistema definido sobre el cilindro, en particular, uno dado por una rotación irracional en la base del cilindro. Para obtener la expansión de ondículas, se ha tenido que refinar y perfeccionar la capacidad de evaluar una ondícula en un punto, desarrollando nuevas aplicaciones del Algoritmo de Daubechies-Lagarias en el proceso. Finalmente, con las series truncadas obtenidas, hemos aplicado resultados de análisis funcional que nos permiten calcular la regularidad de las funciones a partir de sus coeficientes de ondículas. Esto nos ha permitido obtener una medida (imperfecta) de la extrañeza de los atractores. A partir de esto, hemos podido estudiar algunos casos de atractores no caóticos extraños.

This thesis consists of two parts. In the first part, we propose an algorithm to calculate rotation intervals of dynamical systems defined by maps on the unit circle. This algorithm allows for the exact computation of the rotation interval for a wide family of maps when their endpoints are rational. This algorithm is general and does not require the target function to be differentiable. The second part of the thesis focuses on obtaining a semianalytic method to calculate the truncated wavelet expansion for an attractor on a quasi-periodically forced skew product. To obtain the wavelet expansion, we had to refine and enhance the capability to evaluate a wavelet at a point, developing applications of the Daubechies-Lagarias Algorithm in the process. Finally, with the obtained truncated series, we applied results from functional analysis that allows us to determine the regularity of functions based on their wavelet coefficients. This has enabled us to measure (imperfectly) the strangeness of the attractors. From this, we have been able to study some cases of non-chaotic strange attractors.