Trabajo en pareja y construcción de conocimiento matemático en un aula de matemáticas de sexto de primaria

Abstract

El treball de tesis doctoral Treball en parella i construcció de coneixement matemàtic a l’aula de matemàtiques de sisè de primària constitueix una aportació a la investigació en Educació Matemàtica emmarcada en les teories socio-cognitives sobre la construcció de coneixement matemàtic. Per a l’anàlisi de processos de construcció compartida de coneixement matemàtic a l’aula de primària, considerem usos de la fracció, estructures dels arguments i tipus d’interacció en discussions en parella. La pregunta de recerca és: Com influeix la resolució en parella de problemes contextualitzats en la construcció del concepte de fracció en una aula de primària? Per respondre a aquesta qüestió, plantegem tres objectius consecutius de caracterització de: 1) les produccions escrites individuals inicials dels alumnes en la resolució de problemes; 2) la posterior interacció oral i escrita en parella; i 3) les produccions escrites individuals de revisió. Dissenyem una situació d'investigació en una classe de primària d'un centre de la província de Barcelona amb alumnat de 11 i 12 anys. El marc teòric s'organitza mitjançant tres eixos. En primer lloc, l'eix conceptual tracta el concepte de fracció des de la perspectiva dels seus usos. En segon lloc, l'eix estructural tracta l'argumentació a la classe de matemàtiques com un component essencial de la comunicació i com a eina del procés d'organització del raonament. Finalment, l'eix interaccional tracta els processos d'interacció que tenen lloc en situacions escolars d'ensenyament i aprenentatge de les matemàtiques. D'acord amb la pregunta, els objectius i els eixos teòrics, proposem el disseny i els mètodes d'anàlisi. Elaborem una seqüència de tasques aritmètiques de repartiment sense incloure els significats de mesura i operador de la fracció, pensada per ser gestionades en un ambient de resolució de problemes en parella. En la implementació considerem una dinàmica basada en treball individual seguit de discussió en parella i la seva posterior reconstrucció de nou individual. Les dades són escrites i orals, relatives als moments de resolució individual i en parella. Creem quatre instruments per a l'estudi combinat dels diferents eixos. Per a cada eix, definim codis que permeten reduir la informació oral i escrita més rellevant. Els instruments d'anàlisi constitueixen una aportació original de la investigació. L'aplicació dels instruments porta a caracteritzar les produccions escrites inicials i de revisió dels alumnes, així com les produccions orals en parella, atenent a la coordinació dels eixos conceptual, estructural i interaccional. De l'estudi es desprèn que la interacció alumne-alumne afavoreix la construcció del concepte de fracció durant la resolució de problemes aritmètics de repartiment. La implementació de la seqüència de problemes ha generat progressos en el coneixement matemàtic. Establim una connexió entre l'argumentació matemàtica i els processos d'interacció. També vam detectar situacions sense millora o retrocés en la construcció compartida de coneixement ni en l'elaboració d'argumentació col·lectiva. Hi ha avenços en la construcció de coneixement matemàtic quan els alumnes resolen situacions que impliquen la identificació de la fracció com a part-tot en context continu, la identificació de la fracció com a part-tot en context discret i la identificació de la fracció com a quocient. No hi ha avenços en la construcció de coneixement matemàtic quan els alumnes resolen situacions que impliquen la identificació de la fracció com a part-tot en context discret, com a quocient quan no es reparteixen totes les unitats disponibles i en la identificació de la fracció com a raó. En aquests significats de la fracció, les reconstruccions no milloren i fins i tot apareixen canvis en respostes que reflecteixen retrocessos matemàtics i argumentatius. Quant a l'activitat argumentativa, els alumnes avancen en la reconstrucció dels seus arguments quan desestimen desajustos per donar garanties o suports, o quan amplien explicacions o justificacions elaborades, millorant l'ús del llenguatge i connexions. Aquestes millores poden ser degudes a la influència del context en la resolució, al domini del significat de la fracció, o bé al paper de l'alumne en la resolució en parella i en l'elaboració de respostes. Finalment, concloem sobre la rellevància de les interaccions atenent al paper dels alumnes en elles. De vegades, es donen interaccions satisfactòries en termes d'argumentació col·lectiva i de construcció de coneixement matemàtic, on un dels alumnes s'imposa sense discussió els seus arguments. Així, l'elaboració d'aclariments, imposicions, revisions i ampliacions emergeixen d'aquestes actuacions, provocant o no, avenços matemàtics. Hem detectat abundants interaccions en parella orientades al desenvolupament d'argumentació col·lectiva i consens de significats. Es donen intervencions i intercanvis que mostren que, en el procés de resolució en parella, predominen acords, ampliacions i síntesi. Observem a més que alumnes involucrats en una discussió produeixen desacords que permeten avançar, de manera conjunta, en continguts matemàtics o en argumentacions.

The doctoral work Pair work and construction of mathematical knowledge in the grade 6 mathematics classroom constitutes a progress in mathematics education research under the tradition of socio-cognitive approaches about the construction of mathematical knowledge. For the analysis of processes of shared construction of mathematical knowledge in a primary school classroom, we consider the uses of fractions, the structures of arguments and the discussions in pairs. The research question is: How does the resolution in pairs of contextualized problems influence on the construction of the fraction concept in a primary school class? To answer this question we take three consecutive goals aimed at characterizing: 1) the initial individual written productions of the students’ solutions to the problems; 2) the follow-up oral and written interactions among students; and 3) the revised individual written productions. We desing a scientific situation with 11-and-12-year-old students in a class of Barcelona province. The theoretical framework is organized around three axes. First, the conceptual axis deals with is the concept of fraction from the perspective of its uses. Second, the structural axis deals with argumentation in the mathematics classroom as an essential component of communication and as a tool of the process of organizing reasoning. Finally, the interactional axis deals with the interaction processes that take place in school settings of teaching and learning mathematics. According to the question, the goals and theoretical axes, we propose the experimental design and methods of analysis. We create a sequence of arithmetic problems on distribution excluding the meanings of measurement and operator for fraction, planned to be orquestrated in a problem-solving environment with pair work. For the implementation, we consider a lesson dynamics with individual work followed by pair discussion and subsequent individual reconstructions. Our data set is written and oral, in relation to the moments for individual and pair resolution. We create four analytical tools for the combined study of the different axes. For each axis, we define codes that lead to reduce oral and written relevant data. The analytical tools are themselves an original contribution of the research. Through the application of the tools we characterize the initial and revised individual written productions of the students and their oral productions in pairs. The coordination of the conceptual, structural and interactional axes is key to this stage of the study. It can be inferred from the analysis that student-student interaction facilitates the construction of the concept of fraction during the resolution of arithmetic problems of distribution. The implementation of the sequence of problems has been proved to generate progress in the students’ mathematical knowledge. We establish a connection between the mathematical argumentation and the interaction processes. Also, we detect situations without either improvement or regression in the shared construction of knowledge and the development of collective argumentation. There are progresses in the construction of mathematical knowledge when the students solve situations involving identification of the fraction as part-whole in a continuous context, the identification of the fraction as part-whole in a discrete context, and the identification of the fraction as quotient. Nevertheless, there is no progress detected in the construction of mathematical knowledge when the students solve situations involving the identification of the fraction as part-whole in a discrete context, as quotient when all available units are not distributed, and as ratio. Under these meanings of the fraction, the reconstructions do not improve and may reflect changes in responses that point to mathematical and argumentative misunderstandings. As for the argumentative activity, students progress in the reconstruction of their arguments when rejecting mismatches to provide guarantees or endorsements, or when extending explanations or justifications, while improving the use of language and connections. These improvements may be due to the influence of the context in the resolution, the domain of the meaning of the fraction, or the role of the student in pair work during the resolution and the elaboration of responses. Finally, we conclude on the relevance of interactions by paying attention to the roles of the students. Sometimes satisfying interactions are reached in terms of collective reasoning and mathematical knowledge construction, where one of the students imposes without discussion her/his arguments. Thus, the development of clarification, enforcement, revision and expansion emerge from these actions, causing or not, mathematical advances. We have detected many pair work interactions oriented toward collective argumentation and meaning consensus. Various interventions and exchanges show that in pair work resolutions agreements, extensions and synthesis are dominant. We further note that students involved in a discussion, tend to produce disagreements that have the effect to facilitate joint progress in mathematical contents or in argumentations.